Analysis

Aufgabe I 1

Der Graph $K_g$ einer in $\mathbb{R}$ definierten quadratischen Funktion $g$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0 \mid 1).$ In diesem Punkt hat $K_g$ die Steigung $-\tfrac{4}{3}.$ Der Tiefpunkt von $K_g$ hat die $x$ -Koordinate $2.$

Bestimme eine Gleichung der Funktion $g.$

$($ Zur Kontrolle: $g(x)=\frac{1}{3} x^2-\frac{4}{3} x+1)$

(4 BE)

Zeichne $K_g$ im Bereich $-2 \leq x \leq 6.$

(3 BE)

Berechne den Inhalt der Fläche, die $K_g$ mit der $x$ -Achse einschließt.

(4 BE)

Die Funktion $f$ ist für $x \in \mathbb{R}$ definiert durch $f(x)=\left(\tfrac{1}{3} x^2-\tfrac{4}{3} x+1\right) \cdot \text{e}^x.$
Der Graph von $f$ ist $K_f.$
Die Funktion $F$ ist für $x \in \mathbb{R}$ definiert durch $F(x)=\tfrac{1}{3} \cdot\left(x^2-6 x+9\right) \cdot \text{e}^x.$

Zeige, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

(3 BE)

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $K_F$ der Funktion $F.$
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von $K_F.$

$K_f$ schneidet die $x$ -Achse im Intervall $[-2; 2]$ einmal.
Es gilt: $\(F$
Es gilt: $\(f$

Graf einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und einem Kurvenverlauf im Koordinatensystem.

(6 BE)

Der Graph der Funktion $h$ entsteht, indem $K_f$ zuerst um $1$ nach rechts verschoben und dann an der $y$ -Achse gespiegelt wird.

Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:

Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle.
Es gilt $f(1)=0.$ Damit ist $h(-2)=0.$

(5 BE)

Aufgabe II 1

1.1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ durch $g(x)=(x+2)^2 \cdot(x-2)^2.$
Der Graph von $g$ ist $K_g.$

Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um $K_g$ handeln kann.

Graf einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine symmetrische Kurve.

(3 BE)

Der Graph $K_f$ der Funktion $f$ mit $f(x)=\tfrac{1}{8} x^4-x^2+2$ geht aus $K_g$ durch Streckung in $y$ -Richtung mit dem Faktor $a$ hervor.

Gib den Wert von $a$ an.

(1 BE)

Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von $K_f$ verläuft.

(3 BE)

1.2

Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=4 \cdot \cos(x)+4.$
Ihr Graph ist $K_h.$

Zeichne $K_h$ im Bereich $-\pi \leq x\leq \pi.$

(3 BE)

Zeige, dass die Gerade $t$ mit der Gleichung $y=-4 x+2 \pi+4$ eine Tangente an den Graphen $K_h$ im Punkt $P\left(\tfrac{\pi}{2} \mid 4\right)$ ist.

(3 BE)

Die Tangente im Kurvenpunkt $P\bigl(u \mid h(u)\bigr),\:0 \leq u\leq \pi,$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S.$
Bestimme denjenigen Wert, den die $y$ -Koordinate von $S$ maximal annehmen kann.

(5 BE)

1.3

Ein Notizzettel hat die Maße $9 \times 9 \;\text{cm}.$ Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt $A$ des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.

Zeige, dass sich der nach $n$ Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in $\text{cm}^2$ durch die Funktion $A$ mit

$A(n)=81 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n;\;n \in \mathbb{N}$

beschreiben lässt.

(3 BE)

Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.

(4 BE)

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Lösung I 1

Die Funktion $g$ hat die allgemeine Funktionsgleichung $g(x)=ax^2+bx+c.$ Für die Ableitung gilt somit $\(g$ Einsetzen der Informationen aus der Aufgabenstellung liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} g(0)&=&1 \\[5pt] a\cdot0^2+b\cdot0+c&=&1 \\[5pt] c&=&1 \end{array}$

Für $b$ ergibt sich:

$\(\begin{array}[t]{rlll} g$

Für $a$ gilt somit:

$\(\begin{array}[t]{rlll} g$

Damit ergibt sich insgesamt:

$g(x)=\dfrac{1}{3} x^2-\dfrac{4}{3} x+1$

Graf einer Parabel im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen für x und y.

Mit Hilfe des Graphen aus Aufgabenteil b lässt sich ablesen, dass $x=1$ und $x=3$ die Nullstellen von $g$ sind und der Graph zwischen diesen unterhalb der $x$ -Achse verläuft. Damit folgt für den gesuchten Flächeninhalt:

Rechenweg anzeigen

$A = \dfrac{4}{9}\;[\text{FE}]$

Mit der Produktregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( F$

Der Graph $K_F$ besitzt im Intervall $[-2;2]$ einen Extrempunkt. Damit besitzt $K_f$ in diesem Intervall eine Nullstelle und die Aussage ist wahr.
Anhand der Abbildung lässt sich erkennen, dass die Steigung der Tangente an $K_F$ an der Stelle $x=2,5$ ungefähr $-3$ beträgt, d. h. es gilt $f(2,5)\approx-3.$ Diese Aussage ist somit falsch.
Diese Aussage ist wahr, da $K_F$ an der Stelle $x=1,5$ rechtsgekümmt ist.

Aussage 1:
Wenn der Graph zunächst nach rechts verschoben wird und anschließend an der $y$ -Achse gespiegelt wird, hat die resultierende Funktion die Nullstellen bei $-4$ und $-2.$ Wenn der Graph zuerst an der $y$ -Achse gespiegelt und danach verschoben wird, sind die Nullstellen bei $-2$ und $0.$ Dadurch entstehen unterschiedliche Graphen.

Aussage 2:
Wenn der Graph um $1$ nach rechts verschoben wird, verschiebt sich auch die Nullstelle von $x=1$ zu $x=2.$ Die anschließende Spiegelung an der $y$ -Achse ändert die Nullstelle zu $x=-2,$ sodass der Graph von $h$ die $x$ -Achse bei $x=-2$ schneidet.

Lösung II 1

1.1

Der Graph besitzt keine negativen Werte.
Der Graph weist zwei doppelte Nullstellen auf.
Die Nullstellen des Graphen liegen symmetrisch zur $y$ -Achse.

$a=\dfrac{1}{8}$

Da $K_f$ aus $K_g$ durch Streckung in $y$ -Richtung entsteht, besitzt auch $f$ die Nullstellen $x=-2$ und $x=2,$ die jeweils Tiefpunkte sind. Der Hochpunkt liegt auch bei $K_f$ auf der $y$ -Achse, somit folgt für dessen $y$ -Koordinate:

$\begin{array}[t]{rlll} f(0)&=&\dfrac{1}{8}\cdot0^4-0^2+2 \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Damit ergibt sich die allgemeine Gleichung $y=bx^2+2$ der Parabel. Einsetzen der Koordinaten einer der beiden Tiefpunkte liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 0&=&b\cdot2^2+2 &\mid\;-2 \\[5pt] -2&=&4b &\mid\;:4 \\[5pt] -\dfrac{1}{2}&=&b \end{array}$

Die Gleichung der Parabel ergibt sich somit als $y=-\frac{1}{2}x^2+2.$

1.2

Graf einer Funktion mit Achsenbezeichnung und Kurve, die einen Höchstpunkt zeigt.

Für die erste Ableitung von $h$ ergibt sich:

$\(h$

Im Punkt $P$ hat $h$ somit die folgende Steigung:

$\(\begin{array}[t]{rlll} h$

Durch Ablesen in der Gleichung von $t$ folgt, dass $-4$ auch die Steigung von $t$ ist. Einsetzen der Koordinaten von $P$ in die Gleichung von $t$ liefert zudem:

$\begin{array}[t]{rlll} 4&=&-4\cdot\dfrac{\pi}{2}+2\pi+4 \\[5pt] 4&=&4 \end{array}$

Für $h$ gilt zudem:

$\begin{array}[t]{rlll} 4&=&4\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+4 \\[5pt] 4&=&4 \end{array}$

Da somit $t$ ebenfalls durch $P$ verläuft und in diesem Punkt zudem die gleiche Steigung wie $h$ besitzt, ist $t$ eine Tangente an den Graphen $K_h$ im Punkt $P.$

Für die Steigung von $h$ in $P$ gilt $\(h$ Die allgemeine Tangentengleichung ergibt sich somit als $y=-4\cdot\sin(u)\cdot x +b.$ Einsetzen der Koordinaten von $P$ liefert für $b:$

Rechenweg anzeigen

$4\cdot\cos(u)+4u\cdot\sin(u)+4 = b$

Ableiten des Wertes von $b$ nach $u$ mit der Produktregel liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} b$

Die notwendige Bedingung für Extremstellen $\(b$ liefert weiter:

$\(\begin{array}[t]{rlll} b$

Mit dem Satz des Nullprodukts ergibt sich $u_1=0$ und $u_2=\tfrac{\pi}{2},$ da der Kosinus für $0\leq u\leq\pi$ nur bei $u=\tfrac{\pi}{2}$ Null wird. Überprüfen der Intervallgrenzen liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} b(0)&=&4\cdot\cos(0)+4\cdot0\cdot\sin(0)+4 \\[5pt] &=&8 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} b\left(\dfrac{\pi}{2}\right)&=&4\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+4\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+4 \\[5pt] &=&2\pi+4 \\[5pt] &\approx&10,3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} b(\pi)&=&4\cdot\cos(\pi)+4\cdot\pi\cdot\sin(\pi)+4 \\[5pt] &=&-4+4 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Die $y$ -Koordinate von $S$ entspricht $b$ und nimmt somit maximal einen Wert von ca. $10,3$ an.

1.3

Es gilt $A(0)=81\;\text{cm}^2.$ Da sich der Flächeninhalt mit jedem Schnitt halbiert, folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} A(n)&=&81\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} 81\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n&=&\dfrac{1}{100} &\mid\;:81 \\[5pt] \left(\dfrac{1}{2}\right)^n&=&\dfrac{1}{8100} &\mid\; \text{log}_{\frac{1}{2}}\\[5pt] n&\gt&\text{log}_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{8100}\right) \end{array}$

Da $\log_\frac{1}{2}\left(\tfrac{1}{8100}\right)\approx12,98$ ist, muss somit mindestens 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.

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