Analytische Geometrie 3.1 - Pyramiden

Betrachtet werden die Pyramiden $ABCD_k$ mit $A(0\mid 0\mid 0),$ $B(4\mid 0\mid 0)$ , $C(0\mid 4\mid 0)$ und $D_k(0\mid 0\mid k),$ wobei $0\lt k\leq 8$ gilt.
Die Abbildung 1 zeigt eine dieser Pyramiden.

Begründe, dass das Dreieck $BCD_k$ gleichschenklig ist.

(2 BE)

Abb. 1

Der Mittelpunkt der Strecke $\overline {BC}$ ist $M(2\mid 2\mid 0).$ Begründe, dass $\left \vert \overline {MD_k}\right \vert = \left\vert\pmatrix{-2\\-2\\k}\right\vert$ die Länge einer Höhe des Dreiecks $BCD_k$ ist.
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $BCD_k.$

(3 BE)

Für jeden Wert von $k$ liegt die Seitenfläche $BCD_k$ in der Ebene $L_k.$

Bestimme eine Gleichung von $L_k$ in Koordinatenform.

[Zur Kontrolle: $x+y+\dfrac{4}{k}\cdot z =4$ ]

(4 BE)

Ermittle denjenigen Wert von $k,$ für den die Größe des Winkels, unter dem die $z$ -Achse die Ebene $L_k$ schneidet, $30^{\circ}$ beträgt.

(4 BE)

Die Punkte $U(0\mid 0\mid -1),$ $B, C$ und $D_8$ sind ebenfalls Eckpunkte einer Pyramide.
Ermittle, um wie viel Prozent das Volumen dieser Pyramide größer ist als das Volumen der Pyramide $ABCD_8.$

(3 BE)

Bestimme den Abstand des Punktes $U(0\mid 0\mid -1)$ von der Ebene $L_8.$

(2 BE)

Der Punkt $U$ wird an der Ebene $L_8$ gespiegelt. Ermittle die Koordinaten des Spiegelpunktes $\(U$

(4 BE)

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte $A$ und $Q(1\mid 1\mid 3)$ sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
Für $k=6$ enthält die Seitenfläche $BCD_k$ der Pyramide den Eckpunkt $Q$ des Quaders.
Für kleinere Werte von $k$ schneidet die Seitenfläche $BCD_k$ den Quader in einem Vieleck.

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Abb. 2

Für einen Wert von $k$ verläuft die Seitenfläche $BCD_k$ durch die Eckpunkte $P$ und $R$ des Quaders. Bestimme diesen Wert von $k.$

[Zur Kontrolle: $k=4$ ]

(3 BE)

Bestimme für $k=4$ das Teilverhältnis, in dem der Punkt $P$ die Strecke $\overline{BD_4}$ teilt.

(2 BE)

Gib in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche $BCD_k$ den Quader schneidet.

(4 BE)

Nun wird die Pyramide $ABCD_6,$ d.h. diejenige für $k=6,$ betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader mit quadratischer Grundfläche einbeschrieben; der Punkt $A$ ist gemeinsamer Eckpunkt der Quader. Die Seitenflächen der Quader sind parallel zu den Koordinatenebenen. Die Höhe $h$ der Quader durchläuft alle Werte mit $0\lt h\lt 6.$ Für jeden Wert von $h$ liegt der Eckpunkt $Q_h$ in der Seitenfläche $BCD_6$ der Pyramide. Die Abbildung 3 zeigt einen dieser Quader.
Ermittle die Koordinaten des Punktes $Q_h$ in Abhängigkeit von $h.$

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Abb. 3

(4 BE)

Eine Ebene $T,$ die parallel zur $yz$ -Ebene liegt, schneidet die Pyramide $ABCD_6$ so, dass die beiden entstehenden Teilkörper das gleiche Volumen haben.
Ermittle die Stelle, an der die Ebene $T$ die $x$ -Achse schneidet.

(5 BE)

(40 BE)

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Die Dreiecke $A B D_k$ und $A C D_k$ sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein. Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.

Da das Dreieck $BCD_k$ gleichschenklig mit der Basis $\overline{BC}$ ist, stellt $\overline{MD_k}$ eine Höhe dieses Dreiecks dar.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{BC}\right| \cdot \left|\overline{ MD _{ k }}\right| \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{-4\\4\\0} \right| \cdot\left|\pmatrix{-2\\-2\\k} \right| \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{32} \cdot \sqrt{8+ k ^2} \;\text{[FE]} \end{array}$

Ansatz für die Koordinatenform: $a \cdot x+b \cdot y+c \cdot z=d$

Einsetzen der Koordinaten von $B, C$ und $D_{k}$ führt auf folgendes LGS:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& a \cdot 4 + b \cdot 0 + c \cdot 0&=& d \\ \text{II}\quad& a \cdot 0 + b \cdot 4 + c \cdot 0&=& d\\ \text{III}\quad& a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot k&=& d\\ \hline \text{I}\quad& a \cdot 4 &=& d \\ \text{II}\quad& b \cdot 4&=& d\\ \text{III}\quad& c \cdot k&=& d\\ \end{array}$

Wird $d=4$ gewählt, dann ist $a=1$ , $b=1$ und $c=\dfrac{4}{k}.$

Somit folgt eine mögliche Ebenengleichung als $L_{k}$ : $x+y+\dfrac{4}{k} \cdot z=4.$

Richtungsvektor der $z$ -Achse: $\vec{r}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$

Normalenvektor von $L_{k}: \overrightarrow{n_{k}}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \frac{4}{k}\end{array}\right)$

Für $k\gt0$ gilt somit:

$\begin{array}[t]{rll} \sin (30^{\circ})&=& \dfrac{\pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{1\\1\\ \frac{4}{k}}}{ \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right| \cdot \left| \pmatrix{1\\1\\ \frac{4}{k}}\right|} \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+\frac{16}{k^2}}} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] \dfrac{1}{4}&=& \dfrac{\frac{16}{k^2}}{2+\frac{16}{k^2}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4 \quad \mid\;\cdot (2+\frac{16}{k^2}) \\[5pt] \dfrac{1}{4}&=& \dfrac{\frac{16}{k^2}}{2+\frac{16}{k^2}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (2+\frac{16}{k^2}) \\[5pt] \dfrac{2+\frac{16}{k^2}}{4}&=& \dfrac{16}{k^2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4 \\[5pt] 2+\dfrac{16}{k^2}&=& \dfrac{64}{k^2} &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{16}{k^2} \\[5pt] 2&=&\dfrac{48}{k^2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k^2 \\[5pt] 2k^2&=&48 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] k^2&=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] k&=& 2\sqrt{6} \end{array}$

Die Pyramide mit den Eckpunkten $U(0 \mid 0 \mid -1),$ $B,$ $C$ und $D_8$ kann in zwei Pyramiden zerlegt werden, die beide als Grundfläche das Dreieck $A B C$ haben, von denen eine die Pyramide $ABCD_8$ ist.

Da $\left|\overrightarrow{A U}\right|=1 \; \text{[LE]}$ und $\left|\overrightarrow{A D_8}\right|=8 \; \text{[LE]},$ hat die Pyramide $UBCD_8$ somit ein Volumen, dass um $\tfrac{1}{8}=12,5\,\%$ größer ist als das der Pyramide $ABCD _8.$

Der Abstand kann mithilfe der Hesseschen Normalform berechnet werden. Für den Normalenvektor von $L_8$ gilt:

$\overrightarrow{n_{L_8}}=\pmatrix{1\\1\\\dfrac{1}{2}}$

Für den Betrag folgt:

$\left\vert\overrightarrow{n_{L_8}}\right\vert=\sqrt{2+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$

Damit ergibt sich für die Hessesche Normalform:

$L_8:\dfrac{2}{3}\cdot \left(x+y+\dfrac{1}{2}z-4\right)=0$

Für den Abstand von $U$ zur Ebene $L_8$ folgt somit:

$d(L_8;U)$ $=\dfrac{2}{3}\cdot \left| 1\cdot 0+1\cdot 0 +\dfrac{1}{2}\cdot (-1)-4\right|$ $=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{9}{2}=3\;[\text{LE}]$

1. Schritt: Lotgerade aufstellen

$g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{0\\0\\-1}+t \cdot \pmatrix{1\\1\\\frac{1}{2}}$

2. Schritt: Schnittpunkt der Lotgeraden mit $L_8$ berechnen

Einsetzen der Lotgeraden die Geradengleichung von $L_8$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t+t+\dfrac{1}{2} \cdot \left(-1+\dfrac{1}{2}t \right)&=& 4 \\[5pt] 2t-\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{4}t &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;+ \dfrac{1}{2} \\[5pt] 2,25t &=& 4,5 &\quad \scriptsize \mid\;:2,25 \\[5pt] t&=& 2 \end{array}$

Einsetzen von $t=2\cdot 2$ in die Lotgerade ergibt somit den Ortsvektor des Spiegelpunktes:

$\(\overrightarrow{ OU$

Daraus folgen die Koordinaten des Spiegelpunktes mit $\(U$

Es gilt $P(1\mid 0 \mid 3).$ Einsetzen in die Ebenengleichung von $L_k$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 1+0+\dfrac{4}{k}\cdot 3&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] \dfrac{12}{k} &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k\\[5pt] 12 &=& 3k &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] 4&=& k \end{array}$

Der Punkt $P$ hat die $z$ -Koordinate $3,$ der Punkt $D_4$ hat die $z$ -Koordinate $4.$ Damit teilt der Punkt $P$ die Strecke $\overline{BD_4}$ im Verhältnis $3:1.$

$4 \leq k \lt 6$ : drei Eckpunkte

$3 \lt k \lt 4$ : fünf Eckpunkte

$0 \lt k \leq 3$ : vier Eckpunkte

Jeder Punkt $Q_{h}$ liegt auf der Strecke $\overline{M D_{6}}.$ Diese wird für $0\leq s\leq 1$ beschrieben durch:

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{O M}+s \cdot \overrightarrow{M D_{6}}$ $=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \\ -2 \\ 6\end{array}\right)$

$Q_{h}$ hat die $z$ -Koordinate $h,$ also gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h &=& 6 \cdot s &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] \dfrac{h}{6} &=& s \end{array}$

Für die $x$ - Koordinate gilt somit:

$\begin{array}[t]{rll} x&=& 2 + s \cdot (-2) \\[5pt] x&=& 2 + \dfrac{h}{6} \cdot (-2) \\[5pt] x&=& 2 - \dfrac{h}{3} \\[5pt] \end{array}$

Für die $y$ - Koordinate folgt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2 + s \cdot (-2) \\[5pt] y&=& 2 + \dfrac{h}{6} \cdot (-2) \\[5pt] y&=& 2 - \dfrac{h}{3} \\[5pt] \end{array}$

Folglich hat der Punkt die Koordinaten $Q_h\left(2 - \tfrac{h}{3} \mid 2-\tfrac{h}{3} \mid \tfrac{h}{6} \right).$

Wenn $f$ den Abstand des Schnittpunkts von $T$ mit der $x$ -Achse von dem Punkt $B$ bezeichnet, dann schneidet die Ebene $T$ die Strecke $\overline{BD_6}$ bei $z=\tfrac{6}{4}f$ und die Strecke $\overline{BC}$ bei $y=f.$

Für den Flächeninhalt der Grundseite und die Höhe der durch $T$ abgetrennten Pyramide folgt somit:

$G=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{6}{4}f\cdot f=\dfrac{3}{4}f^2$

$h=f$

Das Volumen der abgetrennten Pyramide lässt sich damit wie folgt berechnen:

$V_a=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$ $=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot f^2 \cdot f= \dfrac{1}{4}f^3$

Das Volumen der großen Pyramide ist gegeben durch $V_P=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot 6=16\;[\text{VE}].$

Damit folgt für $f:$

$\begin{array}[t]{rll} V_a &=& V_P \\[5pt] \dfrac{1}{4}f^3 &=& \dfrac{1}{2}\cdot 16 \quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] f^3 &=& 32 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{} \\[5pt] f &\approx& 3,2 \end{array}$

Die gesuchte Stelle auf der $x$ -Achse ergibt sich damit wie folgt:

$x=4-3,2=0,8$

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