Analysis
5.
Gegeben ist die Funktion 
mit 
und 
.
Ihr Graph heißt
.
Begründe, dass die folgenden Aussagen über bzw. wahr sind.
mit und .
Ihr Graph heißt
.
Begründe, dass die folgenden Aussagen über
bzw. wahr sind.
5.1
ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.
(1 BE)
5.2
hat mindestens eine Nullstelle.
(1 BE)
5.3
besitzt mindestens einen lokalen Extrempunkt.
Hinweis: Eine rechnerische Bestimmung der Koordinaten ist nicht gefordert.
(3 BE)
5.1
Die Exponenten von x sind alle ungerade. Dadurch ist der Graph von punktsymmetrisch zum Ursprung.
punktsymmetrisch zum Ursprung.
5.2
Die Funktion ist ganzrational und stetig. Sie verläuft vom positiven Unendlichen ins negative Unendliche. Damit schneidet sie mindestens einmal die x-Achse und hat somit mindestens eine Nullstelle.
ist ganzrational und stetig. Sie verläuft vom positiven Unendlichen ins negative Unendliche. Damit schneidet sie mindestens einmal die x-Achse und hat somit mindestens eine Nullstelle.
5.3
1. Schritt: Die erste Ableitung bestimmen.
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://www.schullv.de/resources/formulas/540b08adb4c30daba99a1961e9f5c18a13036d1da3d3d5e4b4e01eea38151f72_light.svg)
2. Schritt: Mit der ersten Ableitung bestimmen, ob die hinreichende Bedingung für Extrema erfüllt ist.
Da 
stetig ist und sowohl negative, als auch positive Funktionswerte annimmt, ist die hinreichende Bedingung " besitzt eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel" erfüllt. Damit besitzt mindestens einen lokalen Extrempunkt.
2. Schritt: Mit der ersten Ableitung bestimmen, ob die hinreichende Bedingung für Extrema erfüllt ist.
Da stetig ist und sowohl negative, als auch positive Funktionswerte annimmt, ist die hinreichende Bedingung " besitzt eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel" erfüllt. Damit besitzt mindestens einen lokalen Extrempunkt.