Zusammengesetzte Körper
Für das Volumen eines zusammengesetzten Körpers gilt:
Das Gesamtvolumen ist also die Summe der Teilvolumen.
Der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Flächeninhalte der Teilflächen.
Das Gesamtvolumen ist also die Summe der Teilvolumen.
Der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Flächeninhalte der Teilflächen.
1
Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.
a)
b)
c)
d)
2
Berechne den Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers.
a)
b)
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1
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_1&=&(3\,\text{cm})^3\\[5pt]
V_1&=&27\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/57e15913941d89938bd76b076adf9de433738ef1a626ff9736036796150927a5_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_2&=&\dfrac{1}{3}\cdot (3\,\text{cm})^2\cdot 2,25\,\text{cm}\\[5pt]
V_2&=&6,8\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8bd8fc4afd6e078ca1fdb26ca3055994420de8b4dc4f7ca2ca930a4d3952f363_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{\text{gesamt}}&=&V_1+V_2\\[5pt]
&=&27\,\text{cm}^3+6,8\,\text{cm}^3\\[5pt]
V_{\text{gesamt}}&=&33,8\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/47b1019e4d7c040f128dcca5f204ab8007e82a6ea539adccbc07c87ac1db2ef7_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
r^2&=&(9\,\text{cm})^2-(8\,\text{cm})^2\\[5pt]
r&=&4,1\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fd272f93d854f2c01158bf117abd4336c66d835737cc34e7226a2c4c42241f00_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_1&=&\pi\cdot (4,1\,\text{cm})^2\cdot 4\,\text{cm}\\[5pt]
V_1&=& 211,2\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c24b00dee84ae9355b3f676efc32c6e9ef331854877ef63cdb0a089d224c595a_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_2&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot (4,1\,\text{cm})^2\cdot 8\,\text{cm}\\[5pt]
V_2&=&140,8\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0be6bf694c84bf3c267437b8415a00e15554c6ca230e95850dd28482e0d68f18_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{\text{gesamt}}&=&V_1+V_2\\[5pt]
&=&211,2\,\text{cm}^3+140,8\,\text{cm}^3\\[5pt]
V_{\text{gesamt}}&=&352\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b8aa17a1f8641588e175985abc2b51f29df4b30aa6eceaa7fccd3767235c2065_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_1&=&(5\,\text{cm})^3\\[5pt]
V_1&=&125\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/18feb6ef8eb5c37ef6bad35bc5d4c9a967d0e257fffba18f8fcc638aa7a7860e_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_2&=&\dfrac{1}{3}\cdot (5\,\text{cm})^2\cdot 5\,\text{cm}\\[5pt]
V_2&=&41,7\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7ccb12b52c5befbc6e2b29aadc86df554c4136a0ee508e89a15e9f5856ee0bde_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{\text{gesamt}}&=&V_1-V_2\\[5pt]
&=&125\,\text{cm}^3-41,7\,\text{cm}^3\\[5pt]
V_{\text{gesamt}}&=&83,3\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f8764be74b798b2cd6326dff796de1bc14876f95f9859784ddd3d825ed455061_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_2&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot (2,5\,\text{cm})^2\cdot 5\,\text{cm}\\[5pt]
V_2&=&32,7\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a177cf0efb41aa8ebb130129299f6d80017d0bae8a5f6ecb8480b18cf342a54e_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{\text{gesamt}}&=&V_1-V_2\\[5pt]
&=&125\,\text{cm}^3-32,7\,\text{cm}^3\\[5pt]
V_{\text{gesamt}}&=&92,3\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6c6a0375ad1233ea62f43dc8ea2d0ca52e091cb6df84c6dcfaec2d805d16c06e_light.svg)
2
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
M_1&=&4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot h_{s_1}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8c181648b1814f91ed71f848041cee6271bb84430ad10b4bf88bf1e4d38e4ee3_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_{s_1}^2&=&(2\,\text{cm})^2+(4\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
h_{s_1}&=&\sqrt{(2\,\text{cm})^2+(4\,\text{cm})^2}\\[5pt]
h_{s_1}&=& 4,5\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bfd34821ff5280875c438b192afdd6ef2465a8e2e06aedc6a3766a0fe34c252b_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
M_1&=&4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot 4,5\,\text{cm}\\[5pt]
M_1&=&36\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/370df52e975a0f7ccffd7276bd7fef0f97d1ee1fdfd3af9a83fcab0aff5bf2a5_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
M_2&=&4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot h_{s_2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f87f72c630607d91cc3a7864f3c85ac5e12623ec80e6f12a056159589d9e219b_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_{s_2}^2&=&(2\,\text{cm})^2+(5\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
h_{s_2}&=&\sqrt{(2\,\text{cm})^2+(5\,\text{cm})^2}\\[5pt]
h_{s_2}&=&5,4\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/47ce1acbfbdf6264e8334b4201cac4ac9dcb40d231146d3b3059d0dd25b10b76_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
M_2&=&4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot 5,4\,\text{cm}\\[5pt]
M_2&=&43,2\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a764b00c7b7c9e133156e44cca8a3e4bded263ff51c3b9e90c86300b75f984e4_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
O&=&M_1+M_2\\[5pt]
&=&36\,\text{cm}^2+43,2\,\text{cm}^2\\[5pt]
O&=&79,2\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1375463f0da35e9dab47e8fd7ad816ffade673988da72662bfc2978c582809ba_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
O&=&M_{\text{Kegel}}+M_{\text{Halbkugel}} \\[5pt]
&=&\pi\cdot r\cdot s+\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \pi\cdot r^2\\[5pt]
&=&\pi\cdot 3\,\text{cm}\cdot 9\,\text{cm}+2\cdot \pi\cdot (3\,\text{cm})^2\\[5pt]
O&=&141,4\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7ebb5b68258a8e6f018813decdf8628fa65dad303c37e385df3e2c741c772a21_light.svg)