Pflichtteil 2

Am Ende des Schuljahres 2024/25 verließen insgesamt $Formula: 51\,100$ $Formula: 51\,100$ Jugendliche die hessischen Schulen als Schulabgängerinnen und Schulabgänger.

$Formula: 21\,\%$ $Formula: 21\,\%$ der Jugendlichen erreichten einen Hauptschulabschluss.

Berechne die Anzahl der Jugendlichen, die einen Hauptschulabschluss erreichten.

2 Pkt.

$Formula: 19\,200$ $Formula: 19\,200$ Jugendliche schlossen die Schule mit einem Realschulabschluss ab.

Berechne, wie viel Prozent der Jugendlichen die Schule mit einem Realschulabschluss abschlossen. Runde dein Ergebnis auf ganze Prozent.

2 Pkt.

Das Abitur erreichten $Formula: 17\,033$ $Formula: 17\,033$ Jugendliche von $Formula: 51\,100$ $Formula: 51\,100$ Schulabgängerinnen und Schulabgängern.

Daniel betrachtet das folgende Kreisdiagramm und behauptet, dass die Größe des Feldes „Abitur“ auf keinen Fall stimmen kann.

Begründe, warum Daniel recht hat.

Kreisdiagramm zur Verteilung verschiedener Schulabschlüsse: Abitur, Realschulabschluss, Hauptschulabschluss sowie anderer oder kein Abschluss.

2 Pkt.

P10

Im Internet wird das gleiche Fahrrad bei vier verschiedenen Händlern zu folgenden Preisen angeboten.

$Formula: 449\,\text{€}$ $Formula: 449\,\text{€}$

$Formula: 356\,\text{€}$ $Formula: 356\,\text{€}$

$Formula: 410\,\text{€}$ $Formula: 410\,\text{€}$

$Formula: 396\,\text{€}$ $Formula: 396\,\text{€}$

$Formula: 449\,\text{€}$

Gib die Spannweite der Preise an.

1 Pkt.

Berechne den Zentralwert (Median).

2 Pkt.

Ein fünfter Händler bietet ebenfalls dieses Fahrrad an.

Berechnet man das arithmetische Mittel der Preise dieses Fahrrades bei allen fünf Händlern, so erhält man einen Preis von $Formula: 405\,\text{€}.$ $Formula: 405\,\text{€}.$

Berechne, zu welchem Preis der fünfte Händler dieses Fahrrad anbietet.

3 Pkt.

P11

Zu einer Theateraufführung kamen Formula: 312 Personen.

Der Eintritt für Kinder kostet $Formula: 10\,\text{€}$ $Formula: 10\,\text{€}$ und für Erwachsene $Formula: 15\,\text{€}.$ $Formula: 15\,\text{€}.$

Insgesamt wurden $Formula: 3\,745\,\text{€}$ $Formula: 3\,745\,\text{€}$ durch den Verkauf von Eintrittskarten eingenommen.

Stelle das passende Gleichungssystem auf. Verwende für die Anzahl der Kinder die Variable Formula: x und für die Anzahl der Erwachsenen die Variable Formula: y.

Du musst das Gleichungssystem nicht lösen.

2 Pkt.

Löse das folgende Gleichungssystem. Notiere alle Rechenschritte.

$Formula: \left|\begin{aligned}3x &= 6y + 27 \\ 3x &= 15y - 54\end{aligned}\right|$ $Formula: \left|\begin{aligned}3x &= 6y + 27 \\ 3x &= 15y - 54\end{aligned}\right|$

4 Pkt.

P12

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung.

Notiere deine Lösungsschritte.

Formula: x^2 + 16x + 15 = 0

3 Pkt.

P13

Abgebildet ist der Graph der linearen Funktion Formula: f mit $Formula: y = -\tfrac{1}{2}x + 4.$ $Formula: y = -\tfrac{1}{2}x + 4.$

Koordinatensystem mit einer fallenden Geraden f, die die y-Achse bei 4 schneidet.

Berechne die Nullstelle der Funktion Formula: f.

2 Pkt.

Gib die Funktionsgleichung einer Parallelen zur Funktion Formula: f an.

2 Pkt.

Die Gerade Formula: g verläuft durch die Punkte $Formula: P(-2 \mid 0)$ $Formula: P(-2 \mid 0)$ und $Formula: Q(1 \mid 4{,}5).$ $Formula: Q(1 \mid 4{,}5).$

Bestimme die Gleichung der linearen Funktion, die zur Geraden Formula: g gehört.

2 Pkt.

P14

Konstruiere das Dreieck Formula: ABC mit $Formula: a = 8{,}6\;\mathrm{cm},$ $Formula: a = 8{,}6\;\mathrm{cm},$ $Formula: c = 5{,}5\;\mathrm{cm}$ $Formula: c = 5{,}5\;\mathrm{cm}$ und $Formula: \alpha = 105^{\circ}.$ $Formula: \alpha = 105^{\circ}.$

Beschrifte die Eckpunkte.

3 Pkt.

Aus welchen der folgenden Vorgaben lässt sich ein Dreieck nie eindeutig konstruieren? Notiere den richtigen Lösungsbuchstaben.

A	Gegeben sind die Längen der drei Seiten.
B	Gegeben sind die Längen von zwei Seiten und die Größe des von diesen Seiten eingeschlossenen Winkels.
C	Gegeben ist die Länge einer Seite und die Größe der zwei anliegenden Winkel.
D	Gegeben sind die Größen der drei Winkel.

1 Pkt.

P15

Die Abbildung zeigt das Rechteck Formula: ABCD sowie die Punkte Formula: E und Formula: F, die auf den Seiten des Rechtecks liegen.

Rechteck ABCD mit den Punkten E und F sowie eingezeichneten Strecken und Maßangaben.

Abbildung nicht maßstabsgerecht

Berechne die Länge der Strecke $Formula: \overline{DE}.$ $Formula: \overline{DE}.$

2 Pkt.

Begründe ohne Rechnung, warum der Flächeninhalt des Dreiecks Formula: AED größer als der Flächeninhalt des Dreiecks Formula: EBF ist.

2 Pkt.

P16

Berechne, wie viele Kubikzentimeter ungefähr in die abgebildete Tasse passen.

Schätze die zur Berechnung benötigten Größen mithilfe des Bildes.

Gib dein Ergebnis in ganzen Kubikzentimetern an.

Eine Hand hält eine weiße Tasse vor einer hellen Wand.

5 Pkt.

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$Formula: 51\,500\cdot0,21=10\,815$ $Formula: 51\,500\cdot0,21=10\,815$

Somit erreichten $Formula: 10\,815$ $Formula: 10\,815$ Jugendliche einen Hauptschulabschluss.

$Formula: 19\,200$ $Formula: \dfrac{19\,200}{51\,100}\approx0,37=37\,\%$ $Formula: \dfrac{19\,200}{51\,100}\approx0,37=37\,\%$

Somit haben $Formula: 37\,\%$ $Formula: 37\,\%$ der Jugendlichen die Schule mit einem Realschulabschluss abgeschlossen.

Die Größe des Feldes „Abitur“ beträgt ein Viertel des Kreisdiagramms. Somit würden sich insgesamt $Formula: 4\cdot17\,033=68\,132$ $Formula: 4\cdot17\,033=68\,132$ Schulabgängerinnen und Schulabgänger ergeben. Das sind aber deutlich mehr als die $Formula: 51\,100,$ $Formula: 51\,100,$ die es tatsächlich sind. Damit hat Daniel recht.

P10

Die Spannweite der Preise beträgt $Formula: 449\,€-356\,€=93\,€.$ $Formula: 449\,€-356\,€=93\,€.$

Es gibt eine gerade Anzahl an Werten. Somit liegt der Median genau in der Mitte der mittleren beiden Werte:

$Formula: \dfrac{410\,€+396\,€}{2}=403\,€$ $Formula: \dfrac{410\,€+396\,€}{2}=403\,€$

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{449+356+410+396+x}{5}&=&405 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 5 \\[5pt] 1611+x&=&2025 &\quad\scriptsize\mid\;-1611 \\[5pt] x&=&414 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{449+356+410+396+x}{5}&=&405 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 5 \\[5pt] 1611+x&=&2025 &\quad\scriptsize\mid\;-1611 \\[5pt] x&=&414 \end{array}$

Der gesuchte Preis ist $Formula: 414\,€.$ $Formula: 414\,€.$

P11

$Formula: \left|\begin{aligned}x+y&= 312 \\ 10x+15y &= 3\,745\end{aligned}\right|$ $Formula: \left|\begin{aligned}x+y&= 312 \\ 10x+15y &= 3\,745\end{aligned}\right|$

Subtrahieren der ersten Gleichung von der zweiten liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&9y-81 &\quad\scriptsize\mid\;+81 \\[5pt] 81&=&9y &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt] 9&=&y \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&9y-81 &\quad\scriptsize\mid\;+81 \\[5pt] 81&=&9y &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt] 9&=&y \end{array}$

Einsetzen von Formula: y=9 in die erste Gleichung liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 3x&=&6\cdot9+27 &\quad\scriptsize\mid\;:3 \\[5pt] x&=&27 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 3x&=&6\cdot9+27 &\quad\scriptsize\mid\;:3 \\[5pt] x&=&27 \end{array}$

P12

Auflösen mit der Formula: pq -Formel liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&-8\pm\sqrt{8^2-15} \\[5pt] x_{1;2}&=&-8\pm\sqrt{49} \\[5pt] x_1&=&-8+7 \\[5pt] &=&-1 \\[5pt] x_2&=&-8-7 \\[5pt] &=&-15 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&-8\pm\sqrt{8^2-15} \\[5pt] x_{1;2}&=&-8\pm\sqrt{49} \\[5pt] x_1&=&-8+7 \\[5pt] &=&-1 \\[5pt] x_2&=&-8-7 \\[5pt] &=&-15 \end{array}$

P13

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-\dfrac{1}{2}x+4 &\quad\scriptsize\mid\;-4 \\[5pt] -4&=&-\dfrac{1}{2}x &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-2) \\[5pt] 8&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-\dfrac{1}{2}x+4 &\quad\scriptsize\mid\;-4 \\[5pt] -4&=&-\dfrac{1}{2}x &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-2) \\[5pt] 8&=&x \end{array}$

Eine Parallele der Funktion Formula: f hat die gleiche Steigung. Somit ist zum Beispiel $Formula: y=-\tfrac{1}{2}x$ $Formula: y=-\tfrac{1}{2}x$ eine passende Gleichung.

Für die Steigung Formula: m der Geraden Formula: g ergibt sich:

$Formula: m=\dfrac{4,5-0}{1-(-2)}=1,5$ $Formula: m=\dfrac{4,5-0}{1-(-2)}=1,5$

Einsetzen der Koordinaten von Formula: P in die Gleichung Formula: y=1,5x+b liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&1,5\cdot(-2)+b &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 3&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&1,5\cdot(-2)+b &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 3&=&b \end{array}$

Damit ergibt sich die Gleichung Formula: y=1,5x+3.

P14

Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 8,6 cm und c = 5,5 cm sowie dem Winkel α = 105° bei A.

D, denn die Seiten können beliebig in der Länge skaliert werden, ohne, dass sich die Winkel ändern.

P15

Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overline{DE}\right\vert^2&=&5,5^2+4,8^2 \\[5pt] \left\vert\overline{DE}\right\vert^2&=&53,29 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \left\vert\overline{DE}\right\vert&=&7,3\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overline{DE}\right\vert^2&=&5,5^2+4,8^2 \\[5pt] \left\vert\overline{DE}\right\vert^2&=&53,29 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \left\vert\overline{DE}\right\vert&=&7,3\;[\text{cm}] \end{array}$

Beide Dreiecke sind rechtwinklig mit einer Grundseite, die gleich lang ist. Da das Dreieck Formula: EBF laut Skizze eine kürzere Höhe besitzt, ist der Flächeninhalt des Dreiecks Formula: AED somit größer.

P16

Mit Hilfe der Abbildung kann der Durchmesser der Tasse als $Formula: d\approx 7,5\;\text{cm}$ $Formula: d\approx 7,5\;\text{cm}$ und die Höhe als $Formula: h\approx 9\;\text{cm}$ $Formula: h\approx 9\;\text{cm}$ geschätzt werden. Mit dem Radius $Formula: \tfrac{d}{2}\approx3,75\;\text{cm}$ $Formula: \tfrac{d}{2}\approx3,75\;\text{cm}$ ergibt sich dann für das Volumen der Tasse:

$Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] &=&\pi\cdot 3,75^2\cdot 9 \\[5pt] &\approx&397,6\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] &=&\pi\cdot 3,75^2\cdot 9 \\[5pt] &\approx&397,6\;\text{cm}^3 \end{array}$

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