Aufgabe 3A
Von einer Pyramide sind folgende Eckpunkte gegeben:
und 
mit 
Alle Seitenkanten haben die gleiche Länge.
und mit
Alle Seitenkanten haben die gleiche Länge.
a)
Beschrifte alle Eckpunkte der Pyramide in der obigen Abbildung.
Die Punkte
und 
liegen in einer Ebene 
Zeige, dass der Vektor
mit 
ein Normalenvektor der Ebene 
ist.
Gib eine Gleichung für die Ebene in Koordinatenform an. Berechne den Winkel, den die Ebene mit der 
-Ebene einschließt.
Die Punkte
und liegen in einer Ebene
Zeige, dass der Vektor
mit ein Normalenvektor der Ebene ist.
Gib eine Gleichung für die Ebene
in Koordinatenform an. Berechne den Winkel, den die Ebene mit der -Ebene einschließt.
(9 BE)
b)
Bestimme die fehlenden Koordinaten des Punktes 
(Kontrollergebnis:
)
Die Gerade durch
und den Koordinatenursprung schneidet die Ebene im Punkt 
orthogonal. wird an der Ebene gespiegelt.
Bestimme die Koordinaten des Spiegelpunktes
(Kontrollergebnis:
)
Die Gerade durch
und den Koordinatenursprung schneidet die Ebene im Punkt orthogonal. wird an der Ebene gespiegelt.
Bestimme die Koordinaten des Spiegelpunktes
(7 BE)
c)
Die Pyramide wird von einer Ebene mit der Gleichung 
mit 
geschnitten.
Für jedes
mit ist die sich ergebende Schnittfigur ein Rechteck. Die Punkte 
und 
sind zwei Eckpunkte dieses Rechtecks. Für 
sind die Punkte 
und 
in die Abbildung eingezeichnet.
Zeichne das Rechteck für in die obige Abbildung ein.
Die Punkte und werden durch 
und 
beschrieben.
Leite her, dass der Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von durch den Term 
beschrieben werden kann.
Bildnachweise [nach oben]
mit geschnitten.
Für jedes
mit ist die sich ergebende Schnittfigur ein Rechteck. Die Punkte und sind zwei Eckpunkte dieses Rechtecks. Für sind die Punkte und in die Abbildung eingezeichnet.
Zeichne das Rechteck für
in die obige Abbildung ein.
Die Punkte
und werden durch und beschrieben.
Leite her, dass der Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von
durch den Term beschrieben werden kann.
(8 BE)
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a)
Eckpunkte beschriften
Abb. 1: Beschriftung
Normalenvektor nachweisen
Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von 
wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein.
Der Vektor ![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=& 0 \\[10pt]
\overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/63432085428c11ae9435c6f88ba7435e89b601953f229f2d71fc72c28a5539a2_light.svg)
Vollständige Lösung anzeigen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=&\pmatrix{3\\3\\0}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt]
&=& 0 \\[10pt]
\overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{-3\\0\\3}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt]
&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0d4f4edfc5ea28c651af4698ddf7e4b5125799c10e46f5172c72163a965a7490_light.svg)
steht senkrecht zur Ebene und ist damit ein Normalenvektor von
Ebenengleichung angeben
Ein Normalenvektor von ist mit bereits bekannt.
Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert:
Eine Gleichung der Ebene 
![\(\begin{array}[t]{rll}
n_1x+n_2y+n_3z &=& d &\quad \scriptsize \mid\;\overrightarrow{n},\,A(0\mid -3\mid 0) \\[5pt]
1\cdot 0 -1\cdot (-3) + 1\cdot 0&=&d\\[5pt]
3&=& d
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f5162b14ed2205c20ee34607a8abd35bdce875dff9c6c3003a3a226cd989ed99_light.svg)
in Koordinatenform lautet 
Winkel berechnen
Der Winkel 
, den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der -Ebene ist beispielsweise 
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert: Die Ebene
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \alpha&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{n}_{xy} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{xy} \right|} \\[5pt]
\cos \alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{1\\-1\\1}\circ \pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{1\\-1\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt]
\cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2 +1^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt]
\cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{3}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\alpha &\approx& 54,74^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/60d9daec078e1e54009dc5b4ab29bbb5ae2267bf4fdf7705dcfceb72b1a65866_light.svg)
schließt mit der -Ebene einen Winkel der Größe 
ein.
b)
Fehlende Koordinate bestimmen
Laut Aufgabenstellung besitzen alle Seitenkanten der Pyramide die gleiche Länge. Für die Länge der Seitenkante 
ergibt sich mit dem entsprechenden Vektorbetrag:
Das Ergebnis kann nun mit dem Vektorbetrag von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{AB} \right|&=& \left|\pmatrix{3\\3\\0} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{3^2+3^2+0^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{18}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4b75230f10b0f4b0d2a0aecd09144a1189672e5b61c273cecaaa11ccf25227c4_light.svg)
und 
gleichgesetzt werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sqrt{18}&=&\left|\overrightarrow{AD} \right| \\[5pt]
\sqrt{18}&=& \left|\pmatrix{3\\a+3\\b} \right| \\[5pt]
\sqrt{18}&=& \sqrt{3^2+(a+3)^2+b^2} \\[5pt]
\sqrt{18}&=& \sqrt{9+(a+3)^2+b^2}&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt]
18&=&9+a^2+6a+9+b^2 &\quad \scriptsize \mid\;-18 \\[5pt]
0&=& a^2+6a+b^2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/41bdf9b436a5a1451bf88b72abbfa7dd902d78e80fd1eabba396190961f56611_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sqrt{18}&=&\left|\overrightarrow{BD} \right| \\[5pt]
\sqrt{18}&=& \left|\pmatrix{0\\a\\b} \right| \\[5pt]
\sqrt{18}&=& \sqrt{a^2+b^2} \\[5pt]
18&=& a^2+b^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c35e2a601f222032a4e9ffcedb923c753f0eeecc9a0c0f803e50edd5a0f6bda5_light.svg)
Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich zwei mögliche Lösungen:
und 
oder 
und
Da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass 
ist, fällt die erste Möglichkeit weg.
Die fehlenden Koordinaten des Punkts lautet und 
und oder und
Da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass ist, fällt die erste Möglichkeit weg.
Die fehlenden Koordinaten des Punkts lautet und
3: Algebra Koordinaten des Spiegelpunktes bestimmen
Da die Gerade 
durch den Koordinatenursprung und den Punkt die Ebene orthogonal im Punkt 
schneidet, ist auch der Vektor 
orthogonal zur Ebene
Damit muss für den Spiegelpunkt
gelten:
Es gilt:
Der Spiegelpunkt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OD‘}&=& \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PD‘}\\[5pt]
&=& \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{DP} \\[5pt]
&=& \pmatrix{1\\-1\\1} +\pmatrix{-2\\2\\-2} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-1\\ 1\\-1} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/66cc44bcea6a22ae353086e20e9c3f5af04e51f9d9621acd0f2942696f5f70d3_light.svg)
hat die Koordinaten 
c)
Rechteck einzeichnen
Abb. 3: Einzeichnen des Rechtecks
Term für den Flächeninhalt herleiten
Der Punkt 
liegt auf der Strecke 
und kann daher wie folgt dargestellt werden:
mit 
Zudem liegt er in der Ebene mit 
und hat daher folgende Koordinaten 
Gleichsetzen liefert:
Aus der zweiten Zeile ergibt sich gleich 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\pmatrix{x\\y\\h}&=& \pmatrix{3\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{-3\\0\\3} \\[5pt]
\pmatrix{x\\y\\h}&=& \pmatrix{3-3s\\0\\3s} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fabe75ec8981eb26407aeea6f0a150ec44b3daf165810ae82871b21892fd7352_light.svg)
Aus der dritten Zeile folgt 
Damit ergibt sich für die erste Zeile 
und insgesamt lauten die Koordinaten von dann:
Eine Seitenlänge des Rechtecks ergibt sich über den Vektorbetrag von 
die zweite über den Vektorbetrag von 
Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich daher zu:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{F_hG_h}\right|&=& \sqrt{2}h \\[10pt]
\left|\overrightarrow{E_hF_h}\right|&=& \sqrt{2}\cdot (3-h) \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a4ca5bb22f4b65d8c41b5672e352a9ab746fa52f2dd509ddfedca1224ea09b9f_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{F_hG_h}\right|&=& \left|\pmatrix{h\\h\\0}\right|\\[5pt]
&=& \sqrt{h^2+h^2+0^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{2h^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{2}h \\[10pt]
\left|\overrightarrow{E_hF_h}\right|&=& \left|\pmatrix{3-h\\-h+3\\0}\right|\\[5pt]
&=& \sqrt{(3-h)^2+ (-h+3)^2+0^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{2(3-h)^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{2}\cdot (3-h) \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/828a9c74a1fae1ad738b56904a2dcce9de7640355d9f744380c8e7f6e45446c4_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
A(h)&=& \left|\overrightarrow{F_hG_h}\right| \cdot \left|\overrightarrow{E_hF_h}\right| \\[5pt]
&=&\sqrt{2}h \cdot \sqrt{2}\cdot (3-h) \\[5pt]
&=& 2\cdot h\cdot(3-h)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4e57dc8c467d289b836a8673be63588cdca17b18ef1a8d44dd06bd053d19d16b_light.svg)
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a)
Eckpunkte beschriften
Abb. 1: Beschriftung
Normalenvektor nachweisen
Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein.
Der Vektor steht senkrecht zur Ebene und ist damit ein Normalenvektor von
Ebenengleichung angeben
Ein Normalenvektor von ist mit bereits bekannt.
Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert:
Eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet
Winkel berechnen
Der Winkel , den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der -Ebene ist beispielsweise
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert: Die Ebene
schließt mit der -Ebene einen Winkel der Größe ein.
b)
Fehlende Koordinate bestimmen
Laut Aufgabenstellung besitzen alle Seitenkanten der Pyramide die gleiche Länge. Für die Länge der Seitenkante ergibt sich mit dem entsprechenden Vektorbetrag:
Das Ergebnis kann nun mit dem Vektorbetrag von und gleichgesetzt werden:
Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich zwei mögliche Lösungen:
und oder und
Da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass ist, fällt die erste Möglichkeit weg.
und oder und
Da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass ist, fällt die erste Möglichkeit weg.
lautet und
Koordinaten des Spiegelpunktes bestimmen
Da die Gerade durch den Koordinatenursprung und den Punkt die Ebene orthogonal im Punkt schneidet, ist auch der Vektor orthogonal zur Ebene
Damit muss für den Spiegelpunkt
gelten:
Es gilt:
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten
c)
Rechteck einzeichnen
Abb. 3: Einzeichnen des Rechtecks
Term für den Flächeninhalt herleiten
Der Punkt liegt auf der Strecke und kann daher wie folgt dargestellt werden:
mit
Zudem liegt er in der Ebene mit und hat daher folgende Koordinaten
Gleichsetzen liefert:
Aus der zweiten Zeile ergibt sich gleich Aus der dritten Zeile folgt Damit ergibt sich für die erste Zeile und insgesamt lauten die Koordinaten von dann:
Eine Seitenlänge des Rechtecks ergibt sich über den Vektorbetrag von die zweite über den Vektorbetrag von
Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich daher zu:
© 2017 - SchulLV.