Aufgabe 3B

Die Abbildung 1 zeigt den Körper $OBCDEF$ mit $B(4,5 \mid 0 \mid 0),$ $D(0 \mid 0\mid 12),$ $E(4,5\mid 0 \mid 9)$ und $F(0 \mid 6 \mid 10,5).$
Die Grundfläche liegt in der $xy$ -Ebene, die Seitenflächen stehen dazu senkrecht.
Die Punkte $G$ und $H$ liegen auf den Kanten $\overline {OD}$ bzw. $\overline {CF}$ und haben die gleiche $z$ -Koordinate wie der Punkt $E$ .
Gegeben ist die Ebene

$W:\overrightarrow{x}= ....$

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Abb. 1

Begründe, dass das Viereck $DGHF$ ein Trapez ist, und bestimme seinen Flächeninhalt.
Gib die Koordinaten der beiden Schnittpunkte von $W$ mit den Kanten $\overline {OD}$ und $\overline {CF}$ an.
Zeichne in die Abbildung 1 die Figur ein, in der $W$ den Körper $OBCDEF$ schneidet.
Die Ebene $W$ schneidet die Strecke $\overline {GH}$ .
Berechne das Verhältnis, in dem der Schnittpunkt diese Strecke teilt.

(11 BE)

Der Punkt $M(m_1 \mid m_2 \mid 0)$ hat von allen Seiten des Dreiecks $OBC$ den gleichen Abstand.
Begründe, dass $m_1=m_2$ gilt.
Die Gleichungen (I) und (II) liefern gemeinsam einen Ansatz zur Bestimmung der Koordinaten des Punktes $M$ :
(I) $\left(\left[\overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}\right]- \overrightarrow{OM}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=0$
(II) $\left| \left[\overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}\right]-\overrightarrow{OM} \right| = m_1$
Stelle die Bedeutung der beiden Gleichungen im $xy$ -Koordinatensystem in Abbildung 2 dar.

(7 BE)

Abb. Zahl:

Betrachtet werden die Geraden $g_u:\, \overrightarrow{x}=\pmatrix{4,5\\0\\0}+t \cdot \pmatrix{-4,5\\6-6u\\12u}, u\in\mathbb{R}, t\in\mathbb{R}$ .

Ermittle diejenigen Werte von $u$ , für die $g_u$ die $xy$ -Ebene jeweils unter einem Winkel der Größe $30 ^{\circ}$ schneidet.
Begründe, dass die folgende Aussage falsch ist:
Jeder Punkt der Ebene $W$ liegt auf einer der Geraden $g_u$ .

(6 BE)

$\blacktriangleright$ Trapezform begründen

Die Kanten $\overline{DG}$ und $\overline{FH}$ liegen auf den Körperkanten $\overline{OD}$ bzw. $\overline{CF}.$
Da die Seitenflächen $OBED,$ $BCFE$ und $OCFD$ jeweils senkrecht zur $xy$ -Ebene verlaufen, gilt dies auch für die zugehörigen Kanten, $\overline{BE},$ $\overline{CF}$ und $\overline{OD},$ die von diesen Seitenflächen eingeschlossen werden.
Da also beide Kanten $\overline{OD}$ und $\overline{CF}$ senkrecht zur $xy$ -Ebene verlaufen, gilt dies insbesondere auch für die Teilkanten $\overline{DG}$ und $\overline{FH},$ die dadurch parallel sein müssen.
Es sind also zwei gegenüberliegende Seiten des Vierecks $DGHF$ parallel, sodass es sich um ein Trapez handelt.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Da die Strecke $\overline{CF}$ senkrecht zur $xy$ -Ebene verläuft, muss der Punkt $H$ die gleichen $x$ - und $y$ -Koordinaten wie $F$ besitzen. In der Aufgabenstellung ist zudem angegeben, dass $H$ die gleiche $z$ -Koordinate wie $E$ besitzt.

Die Koordinaten lauten also $H(0\mid 6 \mid 9).$

Die Koordinaten von $G$ ergeben sich analog aus den Koordinaten von $D$ und $E:$ $\, G(0\mid 0\mid 9).$

Da die beiden Punkte $G$ und $D$ auf der $z$ -Achse liegen und $G$ und $H$ die gleichen $x$ - und $z-$ Koordinaten haben, besitzt das Trapez bei $G$ einen rechten Winkel. Die Länge der Strecke $\overline{GH}$ ist also die Höhe des Trapezes.
Um den Flächeninhalt des Trapezes $DGHF$ zu berechnen, benötigst du außerdem die Längen der Strecken $\overline{GD}$ und $\overline{HF}:$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{GD}&=& \left|\overrightarrow{GD} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\0\\3} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2 +3^2} \\[5pt] &=& 3 \\[10pt] \overline{HF}&=& \left|\overrightarrow{HF} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\0\\1,5} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2 +1,5^2} \\[5pt] &=& 1,5 \\[10pt] \overline{GH}&=& \left|\overrightarrow{GH} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\6\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+6^2 +0^2} \\[5pt] &=& 6 \\[10pt] \end{array}$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt:

$G=13,5$

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Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt $13,5\,\text{FE}.$

$\blacktriangleright$ Schnittpunkte bestimmen

1. Schritt: Gleichungen für die Kanten angeben

$\overline{OD}:\, \overrightarrow{x}= ...$

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$\overline{CF}$ verläuft ebenfalls senkrecht zur $xy$ -Ebene. Daher besitzt $C$ die gleichen $x$ - und $y$ -Koordinaten wie $F$ und die $z$ -Koordinate $0,$ da er in der $xy$ -Ebene liegt. Also ist $C(0\mid 6\mid 0).$

$\overline{CF}:\, \overrightarrow{x}= ...$

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2. Schritt: Schnittpunkt mit $\overline{OD}$ bestimmen

$-\pmatrix{4,5\\0\\0} = ...$

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Daraus erhält man folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-4,5 &=& -4,5r \\ \text{II}\quad&0 &=& 6r -6s \\ \text{III}\quad&0&=& 12s -12t \\ \end{array}$

Aus der ersten Gleichung folgt direkt $r=1.$ Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 6r -6s &\quad \scriptsize \mid\; r=1 \\[5pt] 0 &=& 6-6s &\quad \scriptsize \mid\;+6s \\[5pt] 6s &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] s &=& 1 \end{array}$

Für $t$ folgt dann mit der dritten Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 12s -12t &\quad \scriptsize \mid\; s=1\\[5pt] 0 &=& 12 -12t &\quad \scriptsize \mid\;+12t \\[5pt] 12t &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; :12\\[5pt] t &=& 1 \end{array}$

Der Schnittpunkt von $W$ mit der Kante $\overline{OD}$ ist also $D(0\mid 0\mid 12).$

3. Schritt: Schnittpunkt mit $\overline{CF}$ bestimmen

$\pmatrix{-4,5\\6\\0} = ...$

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Daraus erhält man folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-4,5 &=& -4,5r \\ \text{II}\quad&6 &=& 6r -6s \\ \text{III}\quad&0&=& 12s -10,5u \\ \end{array}$

Aus der ersten Gleichung folgt direkt $r=1.$ Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 6 &=& 6r -6s &\quad \scriptsize \mid\; r=1 \\[5pt] 6 &=& 6-6s &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] 0 &=& -6s &\quad \scriptsize \mid\; :(-6) \\[5pt] 0 &=& s \end{array}$

Für $u$ folgt dann mit der dritten Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 12s -10,5u &\quad \scriptsize \mid\; s=0\\[5pt] 0 &=& -10,5t &\quad \scriptsize \mid\;:(-10,5) \\[5pt] 0 &=& t \end{array}$

Der Schnittpunkt von $W$ mit der Kante $\overline{CF}$ ist also $C(0\mid 6\mid 0).$

$\blacktriangleright$ Schnittfigur einzeichnen

Abb. 1

$\blacktriangleright$ Streckenverhältnis berechnen

1. Schritt: Geradengleichung für die Strecke aufstellen

Die Strecke $\overline{GH}$ liegt auf der Geraden mit der Gleichung:

$GH: \, \overrightarrow{x} = ...$

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2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen

Gleichsetzen von Geradengleichung und Ebenengleichung liefert:

$\pmatrix{-4,5\\0\\9} ...$

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Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -4,5 &=& -4,5r \\ \text{II}\quad& 0 &=& 6r-6s-6v \\ \text{III}\quad& 9 &=& 12s \\ \end{array}$

Aus der ersten Gleichung folgt direkt $r=1.$ Aus der dritten Gleichung folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 9 &=& 12s &\quad \scriptsize \mid\; :12 \\[5pt] 0,75 &=& s \end{array}$

Diese beiden Ergebnisse kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen:

$v=0,25$

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Einsetzen von $v$ in die Geradengleichung liefert:

$\pmatrix{0\\0\\9} + 0,25\cdot\pmatrix{0\\6\\0} = \pmatrix{0\\1,5\\ 9 }$

Der Schnittpunkt der Ebene $W$ mit der Strecke $\overline{GH}$ hat die Koordinaten $S(0\mid 1,5 \mid 9).$

3. Schritt: Längen der Teilstrecken berechnen

Die Längen der Teilstrecken kannst du über die entsprechenden Vektorbeträge berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{GS}&=& 1,5 \\[10pt] \overline{SH}&=& 4,5 \\[10pt] \end{array}$

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4. Schritt: Teilungsverhältnis berechnen

Die Ebene $W$ teilt die Strecke $\overline{GH}$ im Verhältnis $1,5:4,5 = 1:3.$

$\blacktriangleright$ Gleiche Koordinaten begründen

Der Punkt $C$ hat die gleichen $x$ - und $y$ -Koordinaten wie $F$ und liegt in der $xy$ -Ebene. Er hat also die Koordinaten $C(0\mid 6\mid 0).$
Der Punkt $B$ liegt auf der $x$ -Achse, der Punkt $C$ liegt auf der $y$ -Achse, $A$ ist der Koordinatenursprung. Daher liegt die Strecke $\overline{AB}$ auf der $x$ -Achse, die Strecke $\overline{AC}$ liegt auf der $y$ -Achse.
Der Punkt $M$ muss innerhalb des Dreiecks $ABC$ liegen. Damit er innerhalb des Dreiecks liegt und von $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ den gleichen Abstand hat, muss er auf der Winkelhalbierenden des Winkels bei $A$ liegen. Bei allen Punkten auf dieser Winkelhalbierenden sind die $x$ - und die $y$ -Koordinate identisch, da $\overline{AB}$ auf der $x$ -Achse und $\overline{AC}$ auf der $y$ -Achse liegt.

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Gleichungen darstellen

Abb. 2

$\blacktriangleright$ Parameterwert ermitteln

Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene Ebene ist $\overrightarrow{n}_z = \pmatrix{0\\0\\1}.$
Mit der Formel für den Schnittwinkel einer Gerade und einer Ebene erhältst du folgende Gleichung:

$56,25 -64u -396u^2 = 0$

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Du kannst die Gleichung nun mit dem solve-Befehl deines CAS lösen und erhältst dann:

$\begin{array}[t]{rll} u_1 &\approx& -0,48 \\[5pt] u_2 &\approx& 0,30 \\[5pt] \end{array}$

Für $u_1 \approx -0,48$ und $u_2 \approx 0,30$ schneidet die Gerade $g_u$ die $xy$ -Ebene in einem Winkel von ca. $30^{\circ}.$

$\blacktriangleright$ Falsche Aussage begründen

Du kannst beispielsweise einen Punkt von $W$ bestimmen, der auf keiner Gerade $g_u$ liegt. Wähle beispielsweise $r=0$ und $s=1:$

$\overrightarrow{OP}_W = \pmatrix{4,5\\-6\\12}$

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Der Punkt $P_W(4,5\mid -6\mid 12)$ liegt also in der Ebene $W.$ Überprüfe nun, ob er auch auf einer der Geraden $g_u$ liegt:

$\pmatrix{0\\-6\\12}= t\cdot \pmatrix{-4,5\\6-6u \\ 12u}$

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Damit die erste Zeile erfüllt ist, müsste $t=0$ gelten. Dann wäre aber $\pmatrix{0\\-6\\12}= 0\cdot \pmatrix{-4,5\\6-6u \\ 12u},$ was ein Widerspruch ist. Die Gleichung ist nicht lösbar, der Punkt $P_W$ liegt also auf keiner Geraden $g_u.$
Die Aussage ist daher falsch.