Aufgabe I — Schwingkreis, Induktion und Zerfallsgesetz

In Aufgabe 1 werden Eigenschaften eines elektromagnetischen Schwingkreises untersucht. Gegenstand der Aufgabe 2 ist die Induktion. Die Aufgabe 3 beschäftigt sich mit dem Zerfallsgesetz.

Aufgabenstellung ohne Experimentieren

Das Verhalten von Schwingungen eines elektromagnetischen Schwingkreises soll untersucht werden.

1.1

Eine Spule und ein Kondensator werden gemäß Material 1a zu einem Schwingkreis verschaltet und über einen Schalter an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen.

Beschreibe die Energieumwandlungen in dem Schwingkreis aus Spule und Kondensator nach dem Umlegen des Schalters aus der Stellung 1 in die Stellung 2.

Nun werden ein Widerstand und ein Oszilloskop als registrierendes Messinstrument ergänzt (Material 1b) und das Experiment wird erneut durchgeführt. Material 1c zeigt das $Formula: t\text{-}U_{{R}}$ $Formula: t\text{-}U_{{R}}$ -Diagramm.

Erkläre, dass die Amplitude mit der Zeit abnimmt.

5 BE

1.2

In einem weiteren Experiment wird die Resonanzkurve eines elektromagnetischen Schwingkreises untersucht. Material 1d zeigt eine typische Resonanzkurve.

Beschreibe anhand einer Schaltskizze den Aufbau und die Durchführung eines Experiments zur Erzeugung einer Resonanzkurve.

Erkläre das Auftreten eines Maximums und gib die Resonanzfrequenz an.

7 BE

1.3

Für verschiedene Kapazitäten Formula: C des in einem Schwingkreis verwendeten Kondensators wurde jeweils die Resonanzfrequenz $Formula: f_{0}$ $Formula: f_{0}$ bestimmt (Material 1e).

Hinweis: Vereinfachend kann hier die Frequenz der Eigenschwingung des elektromagnetischen Schwingkreises mit der Resonanzfrequenz gleichgesetzt werden.

Bestätige, dass ein funktionaler Zusammenhang der Form
$Formula: f_{0} = k \cdot \dfrac{1}{\sqrt{C}}$ $Formula: f_{0} = k \cdot \dfrac{1}{\sqrt{C}}$
besteht, wobei du auch den Lösungsweg dokumentierst und den Wert der Konstante Formula: k angibst.

Die Induktivität Formula: L ist eine Eigenschaft der Spule und hat ebenfalls einen Einfluss auf die Resonanzfrequenz. Dabei gilt der theoretische Zusammenhang:
$Formula: f_{0} = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{L}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{C}},$ $Formula: f_{0} = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{L}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{C}},$
wobei Formula: L in der Einheit $Formula: \mathrm{\tfrac{s^{2}}{F}}$ $Formula: \mathrm{\tfrac{s^{2}}{F}}$ angegeben werden kann.

Ermittle die prozentuale Abweichung der Induktivität Formula: L der Spule aus dem Experiment von der Herstellerangabe $Formula: L_{\mathrm{Hersteller}} = 0{,}035\;\mathrm{\tfrac{s^{2}}{F}}.$ $Formula: L_{\mathrm{Hersteller}} = 0{,}035\;\mathrm{\tfrac{s^{2}}{F}}.$

9 BE

1.4

Die Resonanzkurve aus 1.2 (Material 1d) verändert sich, wenn eine Spule mit doppelter Induktivität verwendet wird. Material 1f zeigt die Messkurve bei unveränderter Kapazität des Kondensators.

Überprüfe, ob die Resonanzfrequenz aus Material 1f mit dem theoretischen Zusammenhang aus 1.3 übereinstimmt.

3 BE

In dieser Aufgabe geht es um die Erzeugung eines magnetischen Feldes sowie um die Untersuchung von Induktionsspannungen.

2.1

Eine Spule (Spule 1) wird an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen. Neben der Spule wird mit einem Hallsensor an der in Material 2a eingezeichneten Position die magnetische Flussdichte Formula: B in Abhängigkeit von der Stromstärke Formula: I in der Spule gemessen.

Hinweis: Die magnetische Flussdichte wird auch als magnetische Feldstärke bezeichnet.

Bestätige anhand von Material 2b, dass Formula: I und Formula: B zueinander proportional sind.

3 BE

2.2

Der Versuchsaufbau aus 2.1 wird modifiziert. Der Hallsensor wird entfernt. Stattdessen wird rechts neben die Spule 1 eine identische Spule 2 gestellt (Material 2c).

Nun wird an die Spule 1 ein Frequenzgenerator angeschlossen, sodass in dieser ein dreieckförmiger Stromstärkeverlauf (Dreieckstrom) erzeugt wird. An die Spule 2 wird ein Spannungsmessgerät angeschlossen. Material 2d zeigt die zeitlichen Verläufe der magnetischen Flussdichte Formula: B und der vom Spannungsmessgerät angezeigten Spannung $Formula: U_{\mathrm{ind}}.$ $Formula: U_{\mathrm{ind}}.$

Ermittle aus Material 2d die Frequenz des Dreieckstroms.

Erkläre mithilfe des Induktionsgesetzes qualitativ den Zusammenhang der beiden Graphen in Material 2d.

Erläutere die Auswirkungen auf den an der Spule 2 zu messenden Verlauf der Induktionsspannung $Formula: U_{\mathrm{ind}},$ $Formula: U_{\mathrm{ind}},$ wenn die Frequenz des Dreieckstroms bei gleichbleibender Amplitude verdoppelt wird.

10 BE

2.3

In einem weiteren Experiment werden zwei identische Spulen untereinander an einem Stativ angebracht (Material 2e). Sie sind in Reihe geschaltet und mit einem Oszilloskop verbunden. Ein Stabmagnet wird durch ein Plexiglasrohr durch die beiden Spulen fallen gelassen. Den vom Oszilloskop registrierten Spannungsverlauf zeigt Material 2f.

Beschreibe die Höhe, Breite und Orientierung der Ausschläge (Peaks) im zeitlichen Verlauf des Formula: t - $Formula: U_{\mathrm{ind}}$ $Formula: U_{\mathrm{ind}}$ -Graphen.

Erläutere, wo sich der fallende Magnet zu den in Material 2f mit Formula: M und Formula: N markierten Zeitpunkten befindet.

Erkläre die unterschiedlichen Höhen und Breiten der vier Spannungs-Peaks in Material 2f.

Abschließend wird die untere Spule gegen eine andere ausgetauscht und das Experiment wiederholt. Material 2g zeigt das $Formula: t\text{-}U_{\mathrm{ind}}$ $Formula: t\text{-}U_{\mathrm{ind}}$ -Diagramm.

Stelle eine begründete Hypothese auf, welche Eigenschaften bzw. Beschaltung der neuen Spule zu dem Verlauf der Kurve in Material 2g geführt haben.

11 BE

Der radioaktive Zerfall von Atomkernen und das Zerfallsgesetz stehen im Mittelpunkt dieser Aufgabe. Die Abbildung in Material 3a zeigt einen Ausschnitt aus der Nuklidkarte.

3.1

Erläutere den Alpha- und Betazerfall am Beispiel der Isotope Americium-243 ( $Formula: \text{Am-}243$ $Formula: \text{Am-}243$ ) und $Formula: \text{Am-}244$ $Formula: \text{Am-}244$ anhand der Nuklidkarte (Material 3a), wobei du jeweils auch auf Kernladungs- und Massenzahlen eingehst.

Stelle die ersten fünf Schritte der Zerfallsreihe von $Formula: \text{Am-}243$ $Formula: \text{Am-}243$ mithilfe der Nuklidkarte (Material 3a) dar.

Erkläre, aus welchen Nukliden $Formula: \text{Am-}243$ $Formula: \text{Am-}243$ mit nur einer Kernumwandlung hervorgegangen sein kann.

8 BE

3.2

In einem Experiment wird die Zählrate Formula: R einer unbekannten Probe in Abhängigkeit von der Zeit Formula: t gemessen. Die Messdaten sind in Material 3b dargestellt.

Zeichne das zugehörige $Formula: t\text{-}R$ $Formula: t\text{-}R$ -Diagramm.

Erläutere, dass der zeitliche Verlauf des radioaktiven Zerfalls eines Nuklids grundsätzlich durch eine exponentielle Abnahme beschrieben werden kann.

Ermittle unter Verwendung von Material 3c, um welches Nuklid es sich handeln kann.

9 BE

3.3

Die Zählrate einer Probe Radon-228 ( $Formula: \text{Rn-}228$ $Formula: \text{Rn-}228$ ) wird gemessen. $Formula: \text{Rn-}228$ $Formula: \text{Rn-}228$ besitzt eine Halbwertszeit von $Formula: 65\;\mathrm{s}$ $Formula: 65\;\mathrm{s}$ und zerfällt dabei zu Francium-228 ( $Formula: \text{Fr-}228$ $Formula: \text{Fr-}228$ ). $Formula: \text{Fr-}228$ $Formula: \text{Fr-}228$ besitzt eine Halbwertszeit von $Formula: 38\;\mathrm{s}.$ $Formula: 38\;\mathrm{s}.$ Material 3d zeigt den zeitlichen Verlauf der Zählraten beider Nuklide.

Erkläre das Zustandekommen des Ansteigens und wieder Abfallens der Zählrate von $Formula: \text{Fr-}228.$ $Formula: \text{Fr-}228.$

$Formula: \text{Rn-}228$ $Formula: \text{Rn-}228$ und das Zerfallsnuklid $Formula: \text{Fr-}228$ $Formula: \text{Fr-}228$ besitzen beide Halbwertszeiten im zweistelligen Sekundenbereich. In einem Gedankenexperiment wird davon ausgegangen, dass $Formula: \text{Fr-}228$ $Formula: \text{Fr-}228$ eine etwas größere Halbwertszeit als $Formula: 38\;\mathrm{s}$ $Formula: 38\;\mathrm{s}$ (z.B. wenige Minuten) besitzt.

Skizziere qualitativ und begründet in Material 3d einen entsprechenden Graphen für die nun zu erwartende Zählrate von $Formula: \text{Fr-}228$ $Formula: \text{Fr-}228$ ein.

7 BE

Anhang

Es wurde ein alternativer Aufgabenvorschlag mit Experimentieren angeboten. In diesem Anhang findest du diejenigen Teilaufgaben aus diesem Vorschlag, die vom Aufgabenvorschlag ohne Experimentieren abweichen. Die Teilaufgaben 1.4, 2 und 3 stimmen überein.

Aufgabenstellung mit Experimentieren – Elektrik

Das Verhalten von Schwingungen eines elektromagnetischen Schwingkreises soll untersucht werden.

1.1

Eine Spule und ein Kondensator werden gemäß Material 1a zu einem Schwingkreis verschaltet und über einen Schalter an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen.

Beschreibe die Energieumwandlungen in dem Schwingkreis aus Spule und Kondensator nach dem Umlegen des Schalters aus der Stellung 1 in die Stellung 2.

3 BE

1.2

Der Versuchsaufbau aus 1.1 wird gemäß Material 1b verändert. Die nun verwendete Spannungsquelle stellt eine sinusförmige Wechselspannung mit veränderbarer Frequenz zur Anregung des Schwingkreises zur Verfügung.

Zur Aufnahme einer Resonanzkurve wurde die vom Spannungsmessgerät über dem Widerstand Formula: R gemessene Spannung $Formula: U_{{R}}$ $Formula: U_{{R}}$ in Abhängigkeit von der Frequenz Formula: f der anregenden Wechselspannung gemessen (Material 1c).

Erkläre das Auftreten eines Maximums und gib die Resonanzfrequenz an.

3 BE

1.3

In dem von dir durchzuführenden Experiment soll der Zusammenhang zwischen der Kapazität des Kondensators Formula: C und der Resonanzfrequenz Formula: f_0 eines Schwingkreises untersucht werden.

Hinweis: Vereinfachend kann hier die Frequenz der Eigenschwingung des elektromagnetischen Schwingkreises mit der Resonanzfrequenz gleichgesetzt werden.

Führe das Experiment entsprechend der Angaben in Material 1d durch, wobei du deine Messdaten in der im Unterricht vereinbarten Form dokumentierst.

Bestätige, dass ein funktionaler Zusammenhang der Form $Formula: f_0 = k \cdot \tfrac{1}{\sqrt{C}}$ $Formula: f_0 = k \cdot \tfrac{1}{\sqrt{C}}$ besteht, wobei du auch den Lösungsweg dokumentierst und den Wert der Konstante Formula: k angibst.

Die Induktivität Formula: L ist eine Eigenschaft der Spule und hat ebenfalls einen Einfluss auf die Resonanzfrequenz. Dabei gilt der theoretische Zusammenhang:

$Formula: f_0 = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{L}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{C}},$ $Formula: f_0 = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{L}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{C}},$

wobei Formula: L in der Einheit $Formula: \mathrm{\tfrac{s^2}{F}}$ $Formula: \mathrm{\tfrac{s^2}{F}}$ angegeben werden kann.

Berechne einen möglichst genauen Wert für die Induktivität Formula: L der im Experiment verwendeten Spule.

15 BE

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Material 1a: Schaltskizze zu 1.1 mit Kondensator $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ und Spule $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{L}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{L}}$

Der ohmsche Widerstand der Spule soll nicht berücksichtigt werden.

Einfacher Schaltplan: Batterie links, Schalter mit Positionen 1/2 oben, Kondensator C zur Masse, Spule L rechts.

Material 1b: Schaltskizze zum modifizierten Aufbau in 1.1

Das Oszilloskop dient zur Aufnahme des $Formula: t\text{-}U_{{R}}$ $Formula: t\text{-}U_{{R}}$ -Diagramms. $Formula: U_{{R}}$ $Formula: U_{{R}}$ ist die am Widerstand abfallende Spannung.

Schaltplan: Batterie, Schalter, Kondensator C, Spule L, Widerstand R und angeschlossenes Oszilloskop

Material 1c: Ausschnitt aus dem $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ -Diagramm zu dem Experiment gemäß Material 1b

Diagramm: gedämpfte Spannungsschwingung U_R in V über Zeit in ms, abklingende Sinuskurve.

Material 1d: $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ -Diagramm

Punktdiagramm: Spannung U_R (Skt) gegen Frequenz f (1/s), Peak um 400, fallende Punkte nach rechts.

Material 1e: Resonanzfrequenz $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f_{0}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f_{0}}}$ bei unterschiedlichen Kapazitäten $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$

$Formula: \boldsymbol{C}$ $Formula: \boldsymbol{C}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\mu F}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\mu F}}$	$Formula: \boldsymbol{f_{0}}$ $Formula: \boldsymbol{f_{0}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{1}{s}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{1}{s}}}$

Material 1f: $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ -Diagramm bei einer Spule mit doppelter Induktivität im Schwingkreis

Streudiagramm von UR (Skt) gegen f (1/s), Peak bei ~300 1/s (~1,0), Werte fallen dann bis 1000 1/s

Der Versuchsaufbau entspricht sonst dem zu Material 1d.

Material 2a: Prinzipskizze des Aufbaus aus 2.1

Schematische Zeichnung einer Spule mit Hallsensor und Anzeigegerät für magnetische Flussdichte.

Material 2b: Messdaten für die Spulenstromstärke $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{I}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{I}}$ und die magnetische Flussdichte $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{B}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{B}}$ im Abstand von $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{1\;\mathrm{cm}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{1\;\mathrm{cm}}}$ neben der Spule 1

$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$	$Formula: \boldsymbol{B}$ $Formula: \boldsymbol{B}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mT}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mT}}$

Material 2c: Prinzipskizze des Aufbaus zu 2.2

Schema von zwei Spulen mit Frequenzgenerator, Amperemeter und Voltmeter, beschriftete Spulenachse und Abstände.

Mit dem Frequenzgenerator kann ein dreieckförmiger Stromstärkeverlauf in der Spule 1 erzeugt werden. Gemäß 2.1 ist Formula: I proportional zu Formula: B.

Das Spannungsmessgerät misst die Induktionsspannung.

Material 2d: Zeitlicher Verlauf von $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{B}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{B}}$ und $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ zum Experiment aus 2.2

Diagramm mit magnetischer Flussdichte B und Induktionsspannung Uind über der Zeit.

Material 2e: Aufbau zu 2.3

Schematische Skizze: Stabmagnet im Plexiglasrohr, zwei Spulen angeschlossen an ein Oszilloskop.

Material 2f: $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ -Diagramm

Graph: Induzierte Spannung (V) gegen Zeit (s), zwei positive Spitzen, zwei negative Täler, Punkte M und N markiert.

Material 2g: $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ -Diagramm bei ausgetauschter unterer Spule

Diagramm: Induzierte Spannung über Zeit, oszillierende Kurve mit positiven und negativen Ausschlägen.

Material 3a: Ausschnitt aus einer vereinfachten Nuklidkarte (Neutronenzahl $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{N;}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{N;}}$ Kernladungszahl $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{Z}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{Z}}$ )

$Formula: \boldsymbol{Z \setminus N}$ $Formula: \boldsymbol{Z \setminus N}$	$Formula: \boldsymbol{140}$ $Formula: \boldsymbol{140}$	$Formula: \boldsymbol{141}$ $Formula: \boldsymbol{141}$	$Formula: \boldsymbol{142}$ $Formula: \boldsymbol{142}$	$Formula: \boldsymbol{143}$ $Formula: \boldsymbol{143}$	$Formula: \boldsymbol{144}$ $Formula: \boldsymbol{144}$	$Formula: \boldsymbol{145}$ $Formula: \boldsymbol{145}$	$Formula: \boldsymbol{146}$ $Formula: \boldsymbol{146}$	$Formula: \boldsymbol{147}$ $Formula: \boldsymbol{147}$	$Formula: \boldsymbol{148}$ $Formula: \boldsymbol{148}$	$Formula: \boldsymbol{149}$ $Formula: \boldsymbol{149}$	$Formula: \boldsymbol{150}$ $Formula: \boldsymbol{150}$
$Formula: \boldsymbol{97}$ $Formula: \boldsymbol{97}$									$Formula: \mathrm{Bk-}245$ $Formula: \mathrm{Bk-}245$	$Formula: \mathrm{Bk-}246$ $Formula: \mathrm{Bk-}246$	$Formula: \mathrm{Bk-}247$ $Formula: \mathrm{Bk-}247$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$
$Formula: \boldsymbol{96}$ $Formula: \boldsymbol{96}$					$Formula: \mathrm{Cm-}240$ $Formula: \mathrm{Cm-}240$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Cm-}241$ $Formula: \mathrm{Cm-}241$	$Formula: \mathrm{Cm-}242$ $Formula: \mathrm{Cm-}242$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Cm-}243$ $Formula: \mathrm{Cm-}243$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Cm-}244$ $Formula: \mathrm{Cm-}244$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Cm-}245$ $Formula: \mathrm{Cm-}245$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Cm-}246$ $Formula: \mathrm{Cm-}246$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$
$Formula: \boldsymbol{95}$ $Formula: \boldsymbol{95}$	$Formula: \mathrm{Am-}235$ $Formula: \mathrm{Am-}235$	$Formula: \mathrm{Am-}236$ $Formula: \mathrm{Am-}236$	$Formula: \mathrm{Am-}237$ $Formula: \mathrm{Am-}237$	$Formula: \mathrm{Am-}238$ $Formula: \mathrm{Am-}238$	$Formula: \mathrm{Am-}239$ $Formula: \mathrm{Am-}239$	$Formula: \mathrm{Am-}240$ $Formula: \mathrm{Am-}240$	$Formula: \mathrm{Am-}241$ $Formula: \mathrm{Am-}241$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Am-}242$ $Formula: \mathrm{Am-}242$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Am-}243$ $Formula: \mathrm{Am-}243$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Am-}244$ $Formula: \mathrm{Am-}244$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Am-}245$ $Formula: \mathrm{Am-}245$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$
$Formula: \boldsymbol{94}$ $Formula: \boldsymbol{94}$	$Formula: \mathrm{Pu-}234$ $Formula: \mathrm{Pu-}234$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Pu-}235$ $Formula: \mathrm{Pu-}235$	$Formula: \mathrm{Pu-}236$ $Formula: \mathrm{Pu-}236$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Pu-}237$ $Formula: \mathrm{Pu-}237$	$Formula: \mathrm{Pu-}238$ $Formula: \mathrm{Pu-}238$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Pu-}239$ $Formula: \mathrm{Pu-}239$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Pu-}240$ $Formula: \mathrm{Pu-}240$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Pu-}241$ $Formula: \mathrm{Pu-}241$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Pu-}242$ $Formula: \mathrm{Pu-}242$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Pu-}243$ $Formula: \mathrm{Pu-}243$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Pu-}244$ $Formula: \mathrm{Pu-}244$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$
$Formula: \boldsymbol{93}$ $Formula: \boldsymbol{93}$	$Formula: \mathrm{Np-}233$ $Formula: \mathrm{Np-}233$	$Formula: \mathrm{Np-}234$ $Formula: \mathrm{Np-}234$	$Formula: \mathrm{Np-}235$ $Formula: \mathrm{Np-}235$	$Formula: \mathrm{Np-}236$ $Formula: \mathrm{Np-}236$	$Formula: \mathrm{Np-}237$ $Formula: \mathrm{Np-}237$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Np-}238$ $Formula: \mathrm{Np-}238$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Np-}239$ $Formula: \mathrm{Np-}239$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Np-}240$ $Formula: \mathrm{Np-}240$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Np-}241$ $Formula: \mathrm{Np-}241$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$
$Formula: \boldsymbol{92}$ $Formula: \boldsymbol{92}$	$Formula: \mathrm{U-}232$ $Formula: \mathrm{U-}232$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{U-}233$ $Formula: \mathrm{U-}233$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{U-}234$ $Formula: \mathrm{U-}234$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{U-}235$ $Formula: \mathrm{U-}235$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{U-}236$ $Formula: \mathrm{U-}236$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{U-}237$ $Formula: \mathrm{U-}237$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{U-}238$ $Formula: \mathrm{U-}238$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{U-}239$ $Formula: \mathrm{U-}239$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{U-}240$ $Formula: \mathrm{U-}240$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$
$Formula: \boldsymbol{91}$ $Formula: \boldsymbol{91}$	$Formula: \mathrm{Pa-}231$ $Formula: \mathrm{Pa-}231$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Pa-}232$ $Formula: \mathrm{Pa-}232$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Pa-}233$ $Formula: \mathrm{Pa-}233$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Pa-}234$ $Formula: \mathrm{Pa-}234$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Pa-}235$ $Formula: \mathrm{Pa-}235$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Pa-}236$ $Formula: \mathrm{Pa-}236$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Pa-}237$ $Formula: \mathrm{Pa-}237$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Pa-}238$ $Formula: \mathrm{Pa-}238$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$
$Formula: \boldsymbol{90}$ $Formula: \boldsymbol{90}$	$Formula: \mathrm{Th-}230$ $Formula: \mathrm{Th-}230$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Th-}231$ $Formula: \mathrm{Th-}231$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Th-}232$ $Formula: \mathrm{Th-}232$ $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$	$Formula: \mathrm{Th-}233$ $Formula: \mathrm{Th-}233$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Th-}234$ $Formula: \mathrm{Th-}234$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Th-}235$ $Formula: \mathrm{Th-}235$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Th-}236$ $Formula: \mathrm{Th-}236$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$
$Formula: \boldsymbol{89}$ $Formula: \boldsymbol{89}$	$Formula: \mathrm{Ac-}229$ $Formula: \mathrm{Ac-}229$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Ac-}230$ $Formula: \mathrm{Ac-}230$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Ac-}231$ $Formula: \mathrm{Ac-}231$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Ac-}232$ $Formula: \mathrm{Ac-}232$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Ac-}233$ $Formula: \mathrm{Ac-}233$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$	$Formula: \mathrm{Ac-}234$ $Formula: \mathrm{Ac-}234$ $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$

Formula: Z vertikal, Formula: N horizontal

Hinweis: Angegeben sind nur mögliche $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ - und $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$ -Zerfälle.

Material 3b: Zählrate $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{R}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{R}}$ eines unbekannten Nuklids

$Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	$Formula: \boldsymbol{R}$ $Formula: \boldsymbol{R}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{1}{s}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{1}{s}}}$

Hinweis: Die Werte für Formula: R sind bereits um die Nullrate bereinigt worden.

Material 3c: Halbwertszeit $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}}$ ausgewählter Nuklide

Nuklid	$Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}$ $Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$
$Formula: \text{Zr-}82$ $Formula: \text{Zr-}82$
$Formula: \text{Ag-}98$ $Formula: \text{Ag-}98$
$Formula: \text{Rn-}220$ $Formula: \text{Rn-}220$
$Formula: \text{Sr-}94$ $Formula: \text{Sr-}94$
$Formula: \text{Sn-}106$ $Formula: \text{Sn-}106$
$Formula: \text{Ac-}230$ $Formula: \text{Ac-}230$

Material 3d: Zeitlicher Verlauf der Zählraten von $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\mathrm{Rn-}228}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\mathrm{Rn-}228}}$ und des beim Zerfall entstehenden Nuklids $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\mathrm{Fr-}228}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\mathrm{Fr-}228}}$

Diagramm: Zählrate R vs Zeit t mit zwei Kurven – Rn228 (gestrichelt) fällt stark, Fr228 (durchgezogen) steigt kurz an, dann sinkt.

Hinweis: In der Praxis lassen sich die beiden dargestellten Zählraten nicht getrennt voneinander messen.

Alternative Aufgabenstellung mit Experimentieren – Elektrik

Material 1a: Schaltskizze zu 1.1 mit Kondensator $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ und Spule $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{L}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{L}}$

Der ohmsche Widerstand der Spule soll nicht berücksichtigt werden.

Material 1b: Schaltskizze zum Aufbau in 1.2 mit Widerstand $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{R}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{R}}$ und Spannungsmessgerät

Die Frequenz der sinusförmigen Wechselspannung ist veränderbar.

Schaltbild mit Kondensator, Widerstand, Spule und Voltmeter.

Material 1c: $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ -Diagramm

Material 1d: Hinweise zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments aus 1.3

Verbinde das Netzgerät über die Platine „3“ mit der Platine „4“ (Funktionsgenerator).
Stelle die DIP-Schalter so ein, dass du eine sinusförmige Wechselspannung im Bereich von $Formula: 100\;\mathrm{Hz}$ $Formula: 100\;\mathrm{Hz}$ bis $Formula: 1000\;\mathrm{Hz}$ $Formula: 1000\;\mathrm{Hz}$ erzeugen kannst. Kontrolliere die Position aller DIP-Schalter.
Stelle eine Ausgangsspannung am Funktionsgenerator von etwa $Formula: 2\;\mathrm{V}$ $Formula: 2\;\mathrm{V}$ ein.
Baue einen Schwingkreis gemäß Material 1b auf. Verwende einen Widerstand mit $Formula: R = 33\;\mathrm{\Omega},$ $Formula: R = 33\;\mathrm{\Omega},$ eine Spule mit Windungen sowie ein Multimeter.
Wähle für den eingezeichneten Kondensator sechs Werte von $Formula: 1\;\mathrm{\mu F}$ $Formula: 1\;\mathrm{\mu F}$ bis $Formula: 6,4\;\mathrm{\mu F}$ $Formula: 6,4\;\mathrm{\mu F}$ aus, indem du auch mehrere der roten Kondensatoren parallel schaltest (siehe Beispiel unten). Dafür gilt: $Formula: C_{\mathrm{gesamt}} = C_1 + C_2 + \dots$ $Formula: C_{\mathrm{gesamt}} = C_1 + C_2 + \dots$

Die blauen Elektrolytkondensatoren dürfen nicht verwendet werden.
Bestimme die Resonanzfrequenz in Abhängigkeit von der Kapazität des Kondensators.

Hinweis: Falls du im Unterricht das PEAK-Messverfahren verwendet hast, beachte bitte, dass dies hier aufgrund der begrenzten Anzahl an Verbindungsleitungen nicht möglich ist. Trotz des vereinfachten Messverfahrens werden zur Auswertung geeignete Messwerte erzielt.

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1.1

Beschreibung der Energieumwandlungen im Schwingkreis

Zu Beginn des Schwingungsvorgangs, direkt nach Umlegen des Schalters aus der Stellung 1 in die Stellung 2, ist der Kondensator vollständig aufgeladen und die gesamte Energie ist im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert. Sobald der Kondensator über die Spule entladen wird, entsteht durch den Stromfluss in der Spule ein Magnetfeld, was bedeutet, dass ein Teil der zuvor elektrischen Energie in magnetische Energie umgewandelt wird.

Zum Zeitpunkt $Formula: t = \tfrac{1}{4} \; T$ $Formula: t = \tfrac{1}{4} \; T$ (mit als der Periodendauer der Schwingung) ist der Kondensator vollständig entladen und die maximale Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{max}}$ fließt durch die Spule. In dieser Phase ist die gesamte Energie im magnetischen Feld der Spule gespeichert.

Anschließend baut sich das Magnetfeld wieder ab und induziert dabei gemäß der Lenz'schen Regel eine Spannung. Diese sorgt dafür, dass sich der Kondensator wieder auflädt, diesmal jedoch mit umgekehrter Polarität. Zum Zeitpunkt $Formula: t = \tfrac{1}{2} \; T$ $Formula: t = \tfrac{1}{2} \; T$ ist dadurch wieder die gesamte Energie im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert.

Im Idealfall eines ungedämpften Schwingkreises pendelt die Energie somit fortlaufend zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule hin und her.

Erklärung der Amplitudenabnahme
Die Abnahme der Amplitude erklärt sich durch den im Schwingkreis vorhandenen ohmschen Widerstand. An diesem Widerstand wird kontinuierlich elektrische Energie in thermische Energie umgewandelt. Dem System wird dadurch dauerhaft Energie entzogen, die dem Schwingkreis für die Schwingung nicht mehr zur Verfügung steht. Da die gemessene Spannung $Formula: U_{{R}}$ $Formula: U_{{R}}$ am Widerstand ein Maß für die verbleibende elektrische Energie im Schwingkreis ist, nimmt die Spannungsamplitude mit fortschreitender Zeit ab.

1.2

Aufbau und Durchführung des Experiments

Es wird ein Experiment entsprechend der vorigen Teilaufgabe aufgebaut, die Spannungsquelle muss aber dazu fähig sein, eine Wechselspannung mit variabler Frequenz bereitzustellen.

Bei der Durchführung wird die Frequenz der anliegenden Wechselspannung schrittweise variiert, wobei die Amplitude der anliegenden Wechselspannung konstant gehalten werden muss. Für jeden eingestellten Frequenzwert wird die zugehörige Spannung $Formula: U_{{R}}$ $Formula: U_{{R}}$ am Widerstand abgelesen und notiert. Die aufgetragenen Messwertpaare aus Frequenz Formula: f und Spannung $Formula: U_{{R}}$ $Formula: U_{{R}}$ ergeben die Resonanzkurve.

Schaltbild: Wechselstromkreis mit Spule, Kondensator, Widerstand und angeschlossenem Voltmeter.

Erklärung des Maximums und Angabe der Resonanzfrequenz
Das Spannungsmaximum am Widerstand tritt auf, wenn die Frequenz der anliegenden Wechselspannung genau mit der Eigenfrequenz des Schwingkreises übereinstimmt. Dadurch kommt es zur Resonanz und die Schwingung des Schwingkreises wird optimal von der Schwingung der Wechselspannung angeregt, wodurch die messbare Spannung im Schwingkreis maximal ist.

Aus dem Diagramm (Material 1d) lässt sich der höchste Wert der Spannung ablesen, woraus sich eine Resonanzfrequenz von $Formula: f_{0} = 400\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f_{0} = 400\;\mathrm{Hz}$ (bzw. $Formula: 400\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}$ $Formula: 400\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}$ ) ergibt.

1.3

Bestätigung des funktionalen Zusammenhangs
Um die Gültigkeit des Zusammenhangs $Formula: f_{0} = k \cdot \tfrac{1}{\sqrt{C}}$ $Formula: f_{0} = k \cdot \tfrac{1}{\sqrt{C}}$ nachzuweisen, muss gezeigt werden, dass das Produkt aus $Formula: f_{0}$ $Formula: f_{0}$ und $Formula: \sqrt{C}$ $Formula: \sqrt{C}$ für alle Wertepaare annähernd konstant ist.

$Formula: \boldsymbol{C}$ $Formula: \boldsymbol{C}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\mu F}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\mu F}}$	$Formula: \boldsymbol{f_{0}}$ $Formula: \boldsymbol{f_{0}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Hz}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Hz}}$	$Formula: \boldsymbol{\sqrt{C}}$ $Formula: \boldsymbol{\sqrt{C}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\sqrt{\mu F}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\sqrt{\mu F}}}$	$Formula: \boldsymbol{f_{0} \cdot \sqrt{C}}$ $Formula: \boldsymbol{f_{0} \cdot \sqrt{C}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Hz \cdot \sqrt{\mu F}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Hz \cdot \sqrt{\mu F}}}$

Die berechneten Produkte stimmen im Rahmen der Messgenauigkeit sehr gut überein. Der Mittelwert liefert die Konstante:

$Formula: \overline{k} \approx 833\;\mathrm{Hz \cdot \sqrt{\mu F}}=0,833\;\mathrm{\dfrac{\sqrt{F}}{s}}$ $Formula: \overline{k} \approx 833\;\mathrm{Hz \cdot \sqrt{\mu F}}=0,833\;\mathrm{\dfrac{\sqrt{F}}{s}}$

Ermittlung der prozentualen Abweichung
Für die theoretische Resonanzfrequenz gilt gemäß Aufgabenstellung:

$Formula: f_{0} = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{L}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{C}}$ $Formula: f_{0} = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{L}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{C}}$

Durch Koeffizientenvergleich mit dem experimentellen Ansatz muss die physikalische Bedeutung des Faktors Formula: k Folgendes sein:

$Formula: k = \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L}}$ $Formula: k = \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L}}$

Ein Umstellen der Gleichung nach der experimentellen Induktivität $Formula: L_{\mathrm{exp}}$ $Formula: L_{\mathrm{exp}}$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} L_{\mathrm{exp}} &=& \dfrac{1}{4\pi^{2} \cdot k^{2}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4\pi^{2} \cdot \left( 0,833\;\mathrm{\tfrac{\sqrt{F}}{s}} \right)^{2}} \approx 0,0365\;\mathrm{\dfrac{s^{2}}{F}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} L_{\mathrm{exp}} &=& \dfrac{1}{4\pi^{2} \cdot k^{2}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4\pi^{2} \cdot \left( 0,833\;\mathrm{\tfrac{\sqrt{F}}{s}} \right)^{2}} \approx 0,0365\;\mathrm{\dfrac{s^{2}}{F}} \end{array}$

Die prozentuale Abweichung zum Herstellerwert $Formula: L_{\mathrm{Hersteller}} = 0{,}035\;\mathrm{\tfrac{s^{2}}{F}}$ $Formula: L_{\mathrm{Hersteller}} = 0{,}035\;\mathrm{\tfrac{s^{2}}{F}}$ berechnet sich durch:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\Delta L}{L_{\mathrm{Hersteller}}} &=& \dfrac{L_{\mathrm{exp}} - L_{\mathrm{Hersteller}}}{L_{\mathrm{Hersteller}}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,0365\;\mathrm{\tfrac{s^{2}}{F}}}{0,035\;\mathrm{\tfrac{s^{2}}{F}}} - 1 \\[5pt] &\approx& 0,043 = +4,3\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\Delta L}{L_{\mathrm{Hersteller}}} &=& \dfrac{L_{\mathrm{exp}} - L_{\mathrm{Hersteller}}}{L_{\mathrm{Hersteller}}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,0365\;\mathrm{\tfrac{s^{2}}{F}}}{0,035\;\mathrm{\tfrac{s^{2}}{F}}} - 1 \\[5pt] &\approx& 0,043 = +4,3\,\% \end{array}$

Die experimentell ermittelte Induktivität liegt somit $Formula: 4,3\,\%$ $Formula: 4,3\,\%$ über der Herstellerangabe.

1.4

Überprüfung der Resonanzfrequenz bei doppelter Induktivität
Es gilt der theoretische Zusammenhang aus Teilaufgabe 1.3.

Wird die Spule durch eine Spule mit doppelter Induktivität ( $Formula: L_{\mathrm{neu}} = 2 \cdot L$ $Formula: L_{\mathrm{neu}} = 2 \cdot L$ ) ausgetauscht und die Kapazität konstant gehalten, verändert sich die theoretische Resonanzfrequenz somit um den folgenden Faktor:

$Formula: \dfrac{f_{0,\mathrm{neu}}}{f_{0}} = \dfrac{\tfrac{1}{\sqrt{2 \cdot L}}}{\tfrac{1}{\sqrt{L}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707$ $Formula: \dfrac{f_{0,\mathrm{neu}}}{f_{0}} = \dfrac{\tfrac{1}{\sqrt{2 \cdot L}}}{\tfrac{1}{\sqrt{L}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707$

Ausgehend von der alten Resonanzfrequenz ( $Formula: f_{0} = 400\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f_{0} = 400\;\mathrm{Hz}$ ) liegt die theoretisch zu erwartende neue Resonanzfrequenz somit bei:

$Formula: f_{0,\mathrm{neu}} = 400\;\mathrm{Hz} \cdot 0,707 \approx 283\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f_{0,\mathrm{neu}} = 400\;\mathrm{Hz} \cdot 0,707 \approx 283\;\mathrm{Hz}$

Das Diagramm in Material 1f zeigt das Maximum der Resonanzkurve bei etwa $Formula: 290\;\mathrm{Hz}.$ $Formula: 290\;\mathrm{Hz}.$ Im Rahmen der zu erwartenden Ablese- und Messungenauigkeiten stimmt der experimentelle Wert also gut mit dem theoretischen Zusammenhang überein.

2.1

Bestätigung der Proportionalität
Um nachzuweisen, dass die magnetische Flussdichte Formula: B proportional zur Stromstärke Formula: I ist, wird überprüft, ob der Quotient $Formula: \tfrac{B}{I}$ $Formula: \tfrac{B}{I}$ für die Messwerte aus Material 2b konstant ist.

$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$	$Formula: \boldsymbol{B}$ $Formula: \boldsymbol{B}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mT}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mT}}$	$Formula: \boldsymbol{\tfrac{B}{I}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{B}{I}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{mT}{mA}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{mT}{mA}}}$

Die berechneten Quotienten können im Rahmen der Messgenauigkeit als konstant angesehen werden. Somit ist die Proportionalität $Formula: B \sim I$ $Formula: B \sim I$ bestätigt.

2.2

Ermittlung der Frequenz

Da die magnetische Flussdichte proportional zur Spulenstromstärke ist, weisen beide Größen denselben zeitlichen Verlauf und folglich die gleiche Frequenz auf. Aus dem $Formula: t\text{-}B$ $Formula: t\text{-}B$ -Diagramm in Material 2d lässt sich für eine vollständige Schwingungsperiode eine Dauer von etwa $Formula: T = 100\;\mathrm{ms}$ $Formula: T = 100\;\mathrm{ms}$ ablesen. Die Frequenz Formula: f ergibt sich über den Kehrwert der Periodendauer:

$Formula: f = \dfrac{1}{0,100\;\mathrm{s}} = 10\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = \dfrac{1}{0,100\;\mathrm{s}} = 10\;\mathrm{Hz}$

Erklärung des Zusammenhangs mithilfe des Induktionsgesetzes
Nach dem Induktionsgesetz ist die induzierte Spannung proportional zur zeitlichen Änderungsrate der magnetischen Flussdichte, sofern die effektive Fläche konstant bleibt.

Der zeitliche Verlauf der Induktionsspannung $Formula: U_{\mathrm{ind}}(t)$ $Formula: U_{\mathrm{ind}}(t)$ entspricht somit qualitativ der zeitlichen Ableitung der magnetischen Flussdichte Formula: B(t). Nach der Lenz'schen Regel wirkt die induzierte Spannung ihrer Ursache entgegen.

In Phasen eines linearen Anstiegs von (konstante positive Steigung) wird somit eine konstante, negative Spannung induziert.
In Phasen eines linearen Abfalls von (konstante negative Steigung) entsteht somit eine konstante, positive Induktionsspannung.

Auswirkungen einer Frequenzverdopplung
Wird die Frequenz des Dreieckstroms bei gleicher Amplitude verdoppelt, halbiert sich die Periodendauer. Dadurch muss die zeitliche Änderungsrate des Magnetfelds ansteigen, um in weniger Zeit die gleiche Änderung des Magnetfelds zu erzielen.

Da die zeitliche Änderungsrate des Magnetfelds proportional zur Induktionsspannung ist, verdoppelt sich dadurch auch die Amplitude der registrierten Induktionsspannung. Zudem erfolgen die Vorzeichenwechsel der Spannung aufgrund der halbierten Periodendauer nun in doppelt so schneller Abfolge.

2.3

Beschreibung der Eigenschaften der Peaks

Das Diagramm in Material 2f zeigt für den zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung folgende charakteristische Merkmale:

Das Vorzeichen wechselt bei aufeinanderfolgenden Peaks.
Die Beträge der maximalen Ausschläge (Spannungsamplituden) werden mit fortschreitender Zeit größer.
Die zeitliche Breite der Peaks nimmt mit fortschreitender Zeit ab.
Das Zeitintervall zwischen dem Fallbeginn und dem ersten Ausschlag ist größer als das Zeitintervall zwischen dem zweiten und dritten Ausschlag.

Position des Magneten zu den Zeitpunkten $Formula: \boldsymbol{M}$ $Formula: \boldsymbol{M}$ und $Formula: \boldsymbol{N}$ $Formula: \boldsymbol{N}$
An den markierten Punkten Formula: M und Formula: N nimmt die induzierte Spannung den Wert $Formula: 0\;\mathrm{V}$ $Formula: 0\;\mathrm{V}$ an. Zu diesen Zeitpunkten befindet sich der Stabmagnet genau mittig in der oberen Spule (Punkt ) beziehungsweise in der unteren Spule (Punkt ). In dieser Position erreicht die magnetische Flussdichte, die die jeweilige Spule durchsetzt, ihren Maximalwert, sodass die momentane zeitliche Änderungsrate des magnetischen Flusses null ist und folglich keine Spannung induziert wird.

Erklärung der Höhen und Breiten der Peaks
Aufgrund der Gewichtskraft fällt der Stabmagnet Richtung Boden, wodurch seine Geschwindigkeit kontinuierlich zunimmt. Beim Eintritt in die untere Spule ist der Magnet demnach deutlich schneller als bei der oberen Spule.

Durch die höhere Fallgeschwindigkeit durchdringt das Magnetfeld die Windungen schneller, was zu einer größeren Änderungsrate des magnetischen Flusses führt. Nach dem Induktionsgesetz resultieren daraus betragsmäßig höhere Induktionsspannungen.

Da der Magnet die Spule aufgrund der höheren Geschwindigkeit in kürzerer Zeit passiert, fällt das Zeitfenster, in dem eine Änderung des Magnetfelds stattfindet, kleiner aus. Die Spannungs-Peaks werden dementsprechend schmaler.

Begründete Hypothese zu den Eigenschaften der ausgetauschten Spule
Das $Formula: t\text{-}U_{\mathrm{ind}}$ $Formula: t\text{-}U_{\mathrm{ind}}$ -Diagramm in Material 2g zeigt, dass der zeitliche Ablauf des Falls identisch geblieben ist, die induzierte Spannung in der unteren Spule jedoch eine viel geringere Amplitude sowie vertauschte Vorzeichen aufweist.

Die neu eingesetzte untere Spule besitzt eine deutlich geringere Windungszahl, was zu einer geringeren induzierten Spannung führt. Der Wechsel der Vorzeichen lässt sich dadurch erklären, dass die Spule entweder in entgegengesetzter Richtung gewickelt ist (anderer Wicklungssinn) oder mit vertauschten Anschlusskabeln an das Oszilloskop angeschlossen wurde.

3.1

Erläuterung der Zerfallsarten

Alphazerfall: Beim radioaktiven Zerfall von Americium-243 ( $Formula: \text{Am-}243$ $Formula: \text{Am-}243$ ) wird ein Alphateilchen, bestehend aus zwei Protonen und zwei Neutronen (ein Heliumkern), aus dem Atomkern emittiert. Folglich nimmt die Massenzahl des Ursprungskerns um ab, während sich die Kernladungszahl um verringert.
Betazerfall: Beim $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$ -Zerfall von Americium-244 ( $Formula: \text{Am-}244$ $Formula: \text{Am-}244$ ) wandelt sich im Atomkern ein Neutron in ein Proton um. Dabei wird ein Elektron ( $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$ -Teilchen) freigesetzt und emittiert. Da sich ein neutral geladenes Nukleon in ein positiv geladenes umwandelt, erhöht sich die Kernladungszahl um Die Massenzahl bleibt bei diesem Prozess konstant.

Darstellung der Zerfallsreihe
Mithilfe der Nuklidkarte lassen sich die ersten fünf Schritte der Zerfallsreihe von $Formula: \text{Am-}243$ $Formula: \text{Am-}243$ wie folgt darstellen (drei Alpha- und zwei Betazerfälle):

$Formula: \mathrm{^{243}Am} \xrightarrow{\alpha} \mathrm{^{239}Np} \xrightarrow{\beta^-} \mathrm{^{239}Pu} \xrightarrow{\alpha} \mathrm{^{235}U} \xrightarrow{\alpha} \mathrm{^{231}Th} \xrightarrow{\beta^-} \mathrm{^{231}Pa}$ $Formula: \mathrm{^{243}Am} \xrightarrow{\alpha} \mathrm{^{239}Np} \xrightarrow{\beta^-} \mathrm{^{239}Pu} \xrightarrow{\alpha} \mathrm{^{235}U} \xrightarrow{\alpha} \mathrm{^{231}Th} \xrightarrow{\beta^-} \mathrm{^{231}Pa}$

Mögliche Ursprungsnuklide für $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Am-}243}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Am-}243}$
Damit $Formula: \text{Am-}243$ $Formula: \text{Am-}243$ (Kernladungszahl Formula: Z=95 ) durch exakt eine Kernumwandlung entstanden sein kann, müssen die Parameter potenzieller Ausgangsnuklide rückwärts ermittelt werden:

Ursprung durch $Formula: \boldsymbol{\alpha}$ $Formula: \boldsymbol{\alpha}$ -Zerfall: Das Ausgangsnuklid muss eine um höhere Massenzahl und eine um höhere Kernladungszahl aufweisen. Dies führt zu und was Berkelium-247 ( $Formula: \text{Bk-}247$ $Formula: \text{Bk-}247$ ) entspricht. Laut Nuklidkarte ist dies möglich.
Ursprung durch $Formula: \boldsymbol{\beta^-}$ $Formula: \boldsymbol{\beta^-}$ -Zerfall: Das Ausgangsnuklid muss eine identische Massenzahl und eine um geringere Kernladungszahl besitzen. Dies führt zu und was Plutonium-243 ( $Formula: \text{Pu-}243$ $Formula: \text{Pu-}243$ ) entspricht. Auch dieser Prozess ist möglich.
Ursprung durch $Formula: \boldsymbol{\beta^+}$ $Formula: \boldsymbol{\beta^+}$ -Zerfall: Das Ausgangsnuklid müsste und aufweisen, was Curium-243 ( $Formula: \text{Cm-}243$ $Formula: \text{Cm-}243$ ) entspräche. Aus der Nuklidkarte ergibt sich jedoch, dass $Formula: \text{Cm-}243$ $Formula: \text{Cm-}243$ ein reiner $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Strahler ist, weshalb dieser Weg ausgeschlossen ist.

Somit kann $Formula: \text{Am-}243$ $Formula: \text{Am-}243$ entweder aus $Formula: \text{Bk-}247$ $Formula: \text{Bk-}247$ ( $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Zerfall) oder aus $Formula: \text{Pu-}243$ $Formula: \text{Pu-}243$ ( $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$ -Zerfall) hervorgegangen sein.

3.2

Zeichnen des Diagramms

Diagramm mit fallender Kurve und Messpunkten zu R über der Zeit

Exponentielles Prinzip des radioaktiven Zerfalls

Ein charakteristisches Merkmal des radioaktiven Zerfalls ist, dass sich die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor reduziert. Die beobachtete Zählrate Formula: R(t) ist zu jedem Zeitpunkt proportional zum Bestand der vorhandenen Kerne Formula: N(t). Da die Zerfallsrate der momentanen zeitlichen Änderungsrate des Bestands entspricht ( $Formula: R(t) = -\dot{N}(t)$ $Formula: R(t) = -\dot{N}(t)$ ), muss eine Exponentialfunktion diesen Prozess beschreiben. Auf Grund dieser Eigenschaft lässt sich dem Zerfall eines spezifischen Nuklids eine konstante Halbwertszeit zuordnen.

Ermittlung des unbekannten Nuklids
Zur Identifikation des Nuklids wird die Halbwertszeit aus den Messdaten ( $Formula: t\text{-}R$ $Formula: t\text{-}R$ -Diagramm) abgeschätzt. Es lässt sich beobachten, dass die Zählrate beispielsweise von $Formula: 60\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}$ $Formula: 60\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}$ auf $Formula: 30\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}$ $Formula: 30\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}$ und anschließend auf $Formula: 15\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}$ $Formula: 15\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}$ sinkt. Dieser Abfall um den Faktor Formula: 4 entspricht genau zwei Halbwertszeiten.

Das Zeitintervall für diese Abnahme beginnt etwa bei $Formula: t_1 = 22\;\mathrm{s}$ $Formula: t_1 = 22\;\mathrm{s}$ und endet bei etwa $Formula: t_2 = 139\;\mathrm{s}.$ $Formula: t_2 = 139\;\mathrm{s}.$ Dies ergibt eine Dauer von $Formula: 117\;\mathrm{s}$ $Formula: 117\;\mathrm{s}$ für zwei Halbwertszeiten, woraus sich eine einzelne Halbwertszeit von $Formula: T_{\mathrm{H}} \approx 58,5\;\mathrm{s}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} \approx 58,5\;\mathrm{s}$ berechnen lässt.

Ein Abgleich mit Material 3c zeigt, dass dieser Wert am ehesten mit der Halbwertszeit von Radon-220 mit $Formula: 55,8\;\mathrm{s}$ $Formula: 55,8\;\mathrm{s}$ übereinstimmt.

3.3

Erklärung des zeitlichen Verlaufs von $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Fr-}228}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Fr-}228}$
Zu Beginn der Messung sind in der Probe ausschließlich $Formula: \text{Rn-}228$ $Formula: \text{Rn-}228$ -Kerne vorhanden, $Formula: \text{Fr-}228$ $Formula: \text{Fr-}228$ existiert noch nicht. Durch den Zerfall von $Formula: \text{Rn-}228$ $Formula: \text{Rn-}228$ wird kontinuierlich $Formula: \text{Fr-}228$ $Formula: \text{Fr-}228$ produziert, weshalb dessen Zählrate mit der Zeit deutlich ansteigt. Mit fortschreitender Zeit nimmt jedoch der Bestand des Ausgangsnuklids $Formula: \text{Rn-}228$ $Formula: \text{Rn-}228$ ab, wodurch immer weniger $Formula: \text{Fr-}228$ $Formula: \text{Fr-}228$ nachgebildet wird. Gleichzeitig unterliegen die neu entstandenen $Formula: \text{Fr-}228$ $Formula: \text{Fr-}228$ -Kerne ihrem eigenen Zerfall.

Sobald die eigene Zerfallsrate von $Formula: \text{Fr-}228$ $Formula: \text{Fr-}228$ dessen Nachbildungsrate entspricht, erreicht die Kurve ein Maximum und fällt danach wieder ab.

Gedankenexperiment (deutlich größere Halbwertszeit von $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Fr-}228}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Fr-}228}$ )
Wenn Francium-228 deutlich langsamer zerfallen würde (beispielsweise Halbwertszeit im Minutenbereich statt $Formula: 38\;\mathrm{s}$ $Formula: 38\;\mathrm{s}$ ), fiele der anfängliche Anstieg der Zählrate wesentlich flacher aus. Da die Kerne langsamer zerfallen, würde sich das Maximum der Zählrate zu einem deutlich späteren Zeitpunkt ausbilden. Zudem könnte die Kurve keinen so hohen Spitzenwert (Peak) erreichen wie im realen Fall. Im weiteren zeitlichen Verlauf nach Überschreiten des Maximums würde die Zählrate entsprechend der nun längeren Halbwertszeit viel langsamer und moderater abnehmen.

Diagramm mit zwei Zerfallskurven und Zählrate über der Zeit.

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Aufgabe I — Schwingkreis, Induktion und Zerfallsgesetz

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Material 1a: Schaltskizze zu 1.1 mit Kondensator und Spule

Material 1b: Schaltskizze zum modifizierten Aufbau in 1.1

Material 1c: Ausschnitt aus dem --Diagramm zu dem Experiment gemäß Material 1b

Material 1d: --Diagramm

Material 1e: Resonanzfrequenz bei unterschiedlichen Kapazitäten

Material 1f: --Diagramm bei einer Spule mit doppelter Induktivität im Schwingkreis

Material 2a: Prinzipskizze des Aufbaus aus 2.1

Material 2b: Messdaten für die Spulenstromstärke und die magnetische Flussdichte im Abstand von neben der Spule 1

Material 2c: Prinzipskizze des Aufbaus zu 2.2

Material 2d: Zeitlicher Verlauf von und zum Experiment aus 2.2

Material 2e: Aufbau zu 2.3

Material 2f: --Diagramm

Material 2g: --Diagramm bei ausgetauschter unterer Spule

Material 3a: Ausschnitt aus einer vereinfachten Nuklidkarte (Neutronenzahl Kernladungszahl )

Material 3b: Zählrate eines unbekannten Nuklids

Material 3c: Halbwertszeit ausgewählter Nuklide

Material 3d: Zeitlicher Verlauf der Zählraten von und des beim Zerfall entstehenden Nuklids

Alternative Aufgabenstellung mit Experimentieren – Elektrik

Material 1a: Schaltskizze zu 1.1 mit Kondensator und Spule

Material 1b: Schaltskizze zum Aufbau in 1.2 mit Widerstand und Spannungsmessgerät

Material 1c: --Diagramm

Material 1d: Hinweise zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments aus 1.3

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Material 1a: Schaltskizze zu 1.1 mit Kondensator $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ und Spule $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{L}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{L}}$

Material 1c: Ausschnitt aus dem $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ -Diagramm zu dem Experiment gemäß Material 1b

Material 1d: $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ -Diagramm

Material 1e: Resonanzfrequenz $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f_{0}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f_{0}}}$ bei unterschiedlichen Kapazitäten $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$

Material 1f: $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ -Diagramm bei einer Spule mit doppelter Induktivität im Schwingkreis

Material 2d: Zeitlicher Verlauf von $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{B}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{B}}$ und $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ zum Experiment aus 2.2

Material 2f: $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ -Diagramm

Material 2g: $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{t}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{ind}}}}$ -Diagramm bei ausgetauschter unterer Spule

Material 3a: Ausschnitt aus einer vereinfachten Nuklidkarte (Neutronenzahl $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{N;}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{N;}}$ Kernladungszahl $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{Z}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{Z}}$ )

Material 3b: Zählrate $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{R}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{R}}$ eines unbekannten Nuklids

Material 3c: Halbwertszeit $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}}$ ausgewählter Nuklide

Material 1a: Schaltskizze zu 1.1 mit Kondensator $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ und Spule $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{L}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{L}}$

Material 1b: Schaltskizze zum Aufbau in 1.2 mit Widerstand $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{R}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{R}}$ und Spannungsmessgerät

Material 1c: $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{f}}$ - $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{{R}}}}$ -Diagramm