Aufgabe 1 — Reduzierung von Schall durch Schall

Die Geschwister Tim und Erik haben geräuschunterdrückende (Active-Noise-Cancelling) Kopfhörer geschenkt bekommen. Sie vermuten, dass die Geräuschunterdrückung der Kopfhörer auf eine Auslöschung bestimmter Schallwellen durch Interferenz zurückzuführen ist. Ihrer Vermutung wollen sie nachgehen und stellen den Aufbau der Kopfhörer in einem großen Wohnzimmer nach.

Der Aufbau von Tim und Erik ist in Material 1 in Abbildung 1 zu sehen. Sie stellen zwei Lautsprecher gegenüber einem Sofa auf. In Material 1 in Abbildung 2 sind die Schallwellen beider Lautsprecher dargestellt.

Beschreibe die akustische Wahrnehmung von Tim, wenn er sich von links nach rechts entlang der Sofa-Linie bewegt. Mit einem Ohr ist er den Lautsprechern zugewandt, das andere Ohr hält er zu.

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Berechne mit den Informationen aus Material 1 die Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ des Tones und markiere in Abbildung 2 eine Strecke, welche die Wellenlänge repräsentiert.

[Kontrollwert: $Formula: \mathit{\lambda} \approx 3,5\;\mathrm{m}$ $Formula: \mathit{\lambda} \approx 3,5\;\mathrm{m}$ ]

4 BE

In Material 1 in Abbildung 2 zeigt Punkt Formula: P einen Ort minimaler Lautstärke.

Erkläre unter Bezugnahme auf Material 1, Abbildung 2, das Zustandekommen von Orten minimaler Lautstärke.

Zeichne in Abbildung 2 eine Linie mit Orten minimaler Lautstärke durch Formula: P.

4 BE

Beschreibe die Änderungen im Interferenzbild in Material 1, Abbildung 2, wenn die beiden Lautsprecher die Schallwellen gegenphasig aussenden würden, sich also die Lautsprechermembranen zu jedem Zeitpunkt genau gegenläufig bewegen würden.

3 BE

Die Lautsprecher schwingen für die folgenden Aufgaben gleichphasig mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude.

Tim findet in seinem Physikbuch die folgende Gleichung zur Bestimmung der Lage der Minima bei Interferenz von Licht am Doppelspalt:

$Formula: \mathit{a}_k = (2\mathit{k} - 1) \cdot \dfrac{\mathit{\lambda}}{2} \cdot \dfrac{\mathit{e}}{\mathit{g}}\quad (1)$ $Formula: \mathit{a}_k = (2\mathit{k} - 1) \cdot \dfrac{\mathit{\lambda}}{2} \cdot \dfrac{\mathit{e}}{\mathit{g}}\quad (1)$

Hierbei bezeichnen (siehe Material 2, Abbildung 3)

den Abstand des Minimums -ter Ordnung von der Lage des Hauptmaximums,
$Formula: k=1,2,3, \ldots$ $Formula: k=1,2,3, \ldots$
$Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ die Wellenlänge,
den Abstand zwischen dem Doppelspalt und dem Schirm und
den Spaltabstand.

Leite Gleichung Formula: (1) auf Basis der beiden Skizzen in Abbildung 3 in Material 2 her.

Nenne die Voraussetzungen, die bei der Herleitung genutzt werden.

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Berechne auf Basis von Gleichung Formula: (1), wo sich Erik entlang der Sofa-Linie in Material 1, Abbildung 1, positionieren muss, damit er das Lautstärkeminimum 1. Ordnung des Tones ( $Formula: f = 98\; \text{Hz}$ $Formula: f = 98\; \text{Hz}$ ) wahrnehmen kann.

In Wirklichkeit liegt das Lautstärkeminimum bei $Formula: a_1 = 1,7\; \text{m}.$ $Formula: a_1 = 1,7\; \text{m}.$ Begründe, warum die Gleichung Formula: (1) in der Situation von Tim und Erik nicht zum korrekten Ergebnis von führt.

6 BE

In dem Punkt Formula: M in Material 1 in Abbildung 1 befindet sich ein Mikrofon.

Die Tonhöhe der beiden Lautsprecher wird nun variiert. Berechne die Tonhöhen (Frequenzen Formula: f_k ), bei denen das Mikrofon Lautstärkeminima registriert.

6 BE

Beim Entfernen von einer Schallquelle nimmt die Lautstärke des Tones mit zunehmender Entfernung ab

Begründe, dass eine nahezu vollständige Auslöschung eines Tones nur dann stattfinden kann, wenn der Abstand eines Mikrofons zu den Lautsprechern im Vergleich zum Abstand der Lautsprecher untereinander sehr groß ist.

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Material 3 enthält Informationen zum Active-Noise-Cancelling.

Beurteile die Eignung der Modellierung von Tim und Erik in Material 1, Abbildung 1, zur Nachbildung der Funktionsweise der Active-Noise-Cancelling-Kopfhörer.

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Material 1: Experimenteller Aufbau

Zwei als punktförmig angenommene Lautsprecher Formula: L_1 und Formula: L_2 sind gegenüber von einem Sofa in einem großen Wohnzimmer aufgestellt. Das Sofa ist mittig zwischen den Lautsprechern positioniert und ist $Formula: 2,0 \;\text{m}$ $Formula: 2,0 \;\text{m}$ lang. Es werden die Interferenzphänomene betrachtet, die in einer Ebene stattfinden, in der auch die Lautsprecher liegen. Diese Ebene ist hier die Zeichenebene.

Die Lautsprecher haben einen Abstand von $Formula: 4,0 \;\text{m}$ $Formula: 4,0 \;\text{m}$ zueinander. Sie erzeugen jeweils einen (sinusförmigen) Ton mit der konstanten Frequenz $Formula: f = 98 \;\text{Hz}$ $Formula: f = 98 \;\text{Hz}$ und haben die gleiche Lautstärke.

Schematische Darstellung: Sofa 2,0 m unten, Punkt M links, senkrechte e = 3,0 m zur Ecke, L1 oben links, L2 oben rechts, g = 4,0 m

Abbildung 1: Aufbau mit Lautsprechern und Sofa (von oben)

In der Abbildung 2 ist ein Teil der sich in der Zeichenebene ausbreitenden Schallwellen zu einem festen Zeitpunkt dargestellt. Die durchgezogenen Kreise stellen „Wellenberge“ der Schallwellen dar, die gestrichelten Kreise stellen „Wellentäler“ dar. Die Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu.

Zwei Lautsprecher oben, rote und grüne überlagernde Wellenfronten (gestrichelt und durchgezogen), Kreuz markiert Punkt P.

Abbildung 2: Schallwellen der beiden Lautsprecher

Material 2: Interferenz von Licht am Doppelspalt

Abbildung 3: Versuchsskizzen zum Doppelspalt (nicht maßstabsgetreu)

Material 3: Active-Noise-Cancelling

Die aktive Geräuschunterdrückung (Active-Noise-Cancelling, kurz ANC) basiert auf dem Prinzip der destruktiven Interferenz von Schallwellen. Durch Mikrofone werden die Schallwellen eines Geräusches aufgenommen, invertiert und als Gegenschall wieder ausgesandt. Das Gegenschallsignal besitzt die gleiche Amplitude und Frequenz, ist jedoch um $Formula: 180^{\circ}$ $Formula: 180^{\circ}$ phasenverschoben. Die Schallwellen des ursprünglichen Geräusches überlagern sich mit dem Gegenschall so, dass die resultierende Lautstärke (Amplitude) möglichst minimiert wird.

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Tim nimmt abwechselnd ein Lautstärkemaximum und ein Lautstärkeminimum wahr. Der Ton wird periodisch lauter und leiser.

Die Wellenlänge lässt sich aus dem Quotienten der Ausbreitungsgeschwindigkeit und der Frequenz berechnen. Mit Hilfe von Material 1 ergibt sich somit:

$Formula: \lambda = \frac{c}{f} \approx \frac{343\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{98\;\mathrm{Hz}} = 3,5\;\mathrm{m}$ $Formula: \lambda = \frac{c}{f} \approx \frac{343\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{98\;\mathrm{Hz}} = 3,5\;\mathrm{m}$

Das kann nun in Abbildung 2 eingezeichnet werden:

Zwei Lautsprecher zeigen Überlagerung roter und grüner Wellenfronten, Interferenzmuster mit markiertem Punkt x_P und Abstand λ.

An den Orten minimaler Lautstärke kommt es zur destruktiven Interferenz, da sich die eintreffenden Wellen gegenläufig überlagern – es trifft also beispielsweise der Wellenberg der einen Welle exakt auf das Wellental der anderen Welle. Diese spezielle Überlagerung führt zu einer Auslöschung der Schallwellen, was sich akustisch durch eine minimale Lautstärke bemerkbar macht.

Grafisch ist das als Linie (Hyperbel) in das Diagramm einzuzeichnen:

Wenn die Lautsprecher die Schallwellen gegenphasig aussenden würden, so bleibt die Wellendarstellung für den linken Lautsprecher identisch zur Abbildung 2. Beim rechten Lautsprecher kehrt sich die Darstellung jedoch um: Bisherige durchgezogene Linien müssen nun gestrichelt gezeichnet werden und ehemals gestrichelte Linien werden durchgezogen.

Daraus folgt, dass es an allen Orten, an denen es bisher konstruktive Interferenz gab, nun destruktive Interferenz gibt. Umgekehrt wandeln sich alle Orte destruktiver Interferenz zu Orten konstruktiver Interferenz (z.B. entlang der Hyperbel durch Formula: P ).

Anhand der linken Skizze (auf dem Handy der oberen) lässt sich für das dort dargestellte rechtwinklige Dreieck folgende trigonometrische Beziehung aufstellen:

$Formula: \tan (\alpha) = \frac{a_{k}}{e}$ $Formula: \tan (\alpha) = \frac{a_{k}}{e}$

Anhand der rechten Skizze (auf dem Handy der unteren) lässt sich für das dortige rechtwinklige Dreieck analog dazu folgende trigonometrische Beziehung aufstellen:

$Formula: \sin (\alpha) = \frac{\Delta s}{g}$ $Formula: \sin (\alpha) = \frac{\Delta s}{g}$

Gemäß der Kleinwinkelnäherung lassen sich die Quotienten für kleine Winkel gleichsetzen:

$Formula: \begin{array}{rl} \dfrac{a_k}{e} &= \dfrac{\Delta s}{g} \quad&\mid \cdot e \\[5pt] a_k &= \dfrac{\Delta s \cdot e}{g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rl} \dfrac{a_k}{e} &= \dfrac{\Delta s}{g} \quad&\mid \cdot e \\[5pt] a_k &= \dfrac{\Delta s \cdot e}{g} \end{array}$

Für die Entstehung von destruktiver Interferenz gilt die Bedingung $Formula: \Delta s = (2k-1) \cdot \tfrac{\lambda}{2}.$ $Formula: \Delta s = (2k-1) \cdot \tfrac{\lambda}{2}.$ Das kann in die Gleichung für Formula: a_k eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}{rl} a_{k} &= \dfrac{\Delta s \cdot e}{g} \\[5pt] &= (2\mathit{k} - 1) \cdot \dfrac{\mathit{\lambda}}{2} \cdot \dfrac{\mathit{e}}{\mathit{g}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rl} a_{k} &= \dfrac{\Delta s \cdot e}{g} \\[5pt] &= (2\mathit{k} - 1) \cdot \dfrac{\mathit{\lambda}}{2} \cdot \dfrac{\mathit{e}}{\mathit{g}} \end{array}$

Dass diese Formel so genutzt werden darf, basiert auf zwei wesentlichen Annahmen:

Erstens wird von einem parallelen Verlauf der Strahlen am Doppelspalt ausgegangen. Diese Näherung darf gemacht werden, da der Abstand (die Distanz zwischen Schirm und Doppelspalt) um ein Vielfaches größer ist als der Spaltabstand
Zweitens wird die Kleinwinkelnäherung angewendet. Diese kann angewendet werden, da der Abstand (die Distanz des Minimums -ter Ordnung vom Hauptmaximum) deutlich kleiner ist als (die Distanz zwischen Schirm und Doppelspalt). Dadurch ergeben sich für den Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ sehr kleine Werte.

Für das Lautstärkeminimum 1. Ordnung gilt Formula: k=1. Das kann in die hergeleitete Formel eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} a_{k} & = & \dfrac{(2k - 1) \cdot \tfrac{\lambda}{2} \cdot e}{g} \quad&\mid \text{Einsetzen}\\[5pt] & = & \dfrac{1 \cdot \tfrac{3,5 \; \mathrm{m}}{2} \cdot 3 \; \mathrm{m}}{4 \; \mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 1,31 \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} a_{k} & = & \dfrac{(2k - 1) \cdot \tfrac{\lambda}{2} \cdot e}{g} \quad&\mid \text{Einsetzen}\\[5pt] & = & \dfrac{1 \cdot \tfrac{3,5 \; \mathrm{m}}{2} \cdot 3 \; \mathrm{m}}{4 \; \mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 1,31 \; \mathrm{m} \end{array}$

Das Hauptmaximum befindet sich exakt in der Mitte der Couch. Da das Sofa zu beiden Seiten hin jeweils eine Länge von Formula: 1 Meter aufweist, müsste Erik sich etwa $Formula: 0,31 \;\text{m}$ $Formula: 0,31 \;\text{m}$ links oder rechts neben dem jeweiligen Ende des Sofas platzieren, um das Lautstärkeminimum wahrzunehmen. Er würde sich bei dieser Position folglich nicht mehr auf dem Sofa befinden.

Zudem muss angemerkt werden, dass die Voraussetzungen für die in Aufgabe c1) hergeleitete Gleichung in der realen Situation von Erik und Tim überhaupt nicht erfüllt sind, da sich die räumlichen Dimensionen erheblich von denen eines optischen Versuchs unterscheiden:

Der Abstand der Lautsprecher zueinander ist nicht signifikant kleiner als deren Distanz zur Linie des Sofas. Daher darf die Annahme eines parallelen Wellenverlaufs (wie er bei Licht in Abbildung 3 skizziert wird) hier nicht getroffen werden.
Ebenso ist der Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ in diesem Szenario nicht ausreichend klein. Der Grund dafür ist, dass der Abstand des Minimums nicht wesentlich kleiner ausfällt als die Entfernung zwischen den Lautsprechern und der Sofa-Linie. Aus diesem Grund ist die Anwendung der Kleinwinkelnäherung hier falsch.

Für destruktive Interferenz gilt für den Gangunterschied am Formula: k -ten Minimum:

$Formula: \begin{array}{rtl} \Delta s &=& (2k-1) \cdot \dfrac{\lambda_{k}}{2} \\[5pt] \lambda_k &=& \dfrac{2 \cdot \Delta s}{2k-1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rtl} \Delta s &=& (2k-1) \cdot \dfrac{\lambda_{k}}{2} \\[5pt] \lambda_k &=& \dfrac{2 \cdot \Delta s}{2k-1} \end{array}$

Der tatsächliche Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ ergibt sich aus Abbildung 1 mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:

$Formula: \begin{array}{rll} \Delta s & = & \sqrt{(3,0 \; \mathrm{m})^{2} + (4,0 \; \mathrm{m})^{2}} - 3,0 \; \mathrm{m} \\[5pt] & = & 2,0 \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \Delta s & = & \sqrt{(3,0 \; \mathrm{m})^{2} + (4,0 \; \mathrm{m})^{2}} - 3,0 \; \mathrm{m} \\[5pt] & = & 2,0 \; \mathrm{m} \end{array}$

Daraus folgt für $Formula: \lambda_k \text{:}$ $Formula: \lambda_k \text{:}$

$Formula: \lambda_k=\frac{4,0 \; \mathrm{m}}{2 k-1}$ $Formula: \lambda_k=\frac{4,0 \; \mathrm{m}}{2 k-1}$

Über den bekannten Zusammenhang von Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz lässt sich anschließend die Gleichung für die Frequenzen herleiten:

$Formula: f_{{k}} = \frac{c}{\lambda_{{k}}} = \frac{c}{\frac{4,0\;\mathrm{m}}{2k-1}} \approx (2k-1) \cdot 85,8\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f_{{k}} = \frac{c}{\lambda_{{k}}} = \frac{c}{\frac{4,0\;\mathrm{m}}{2k-1}} \approx (2k-1) \cdot 85,8\;\mathrm{Hz}$

Daraus folgt: Immer dann, wenn die Frequenz ein ungeradzahliges Vielfaches von $Formula: 85,8\;\mathrm{Hz}$ $Formula: 85,8\;\mathrm{Hz}$ beträgt, registriert das Mikrofon eine destruktive Interferenz und somit eine Auslöschung des Schalls.

Damit sich zwei überlagernde Schallwellen an einem bestimmten Punkt im Raum tatsächlich vollständig auslöschen können, ist es zwingend notwendig, dass ihre Amplituden an diesem Ort exakt gleich groß sind.

Grundsätzlich gilt, dass die Amplitude einer Welle mit zunehmender Entfernung von der Schallquelle kontinuierlich abnimmt. Wenn das Mikrofon in einer Distanz zu den Lautsprechern platziert wird, die im Vergleich zum Abstand der beiden Lautsprecher untereinander sehr groß ausfällt, ist der Unterschied zwischen den beiden zurückgelegten Wegstrecken im Vergleich zur zurückgelegten Wegstrecke nur noch sehr gering. Dadurch darf vereinfachend angenommen werden, dass die Amplituden beider eintreffenden Wellen identisch sind.

Die vorgeschlagene Modellierung durch den Versuchsaufbau aus Abbildung 1 ist zur Erklärung von Active-Noise-Cancelling-Kopfhörern (ANC) aus mehreren physikalischen Gründen eher ungeeignet:

Frequenzspektrum: Die im Experiment verwendeten Lautsprecher emittieren einen Ton mit einer einzigen, festen Frequenz. Im Gegensatz dazu wird bei der alltäglichen Nutzung von ANC-Kopfhörern meist Unterhaltungsmusik gehört, welche sich aus einem breiten und komplexen Spektrum unterschiedlichster Frequenzen zusammensetzt. Für jede Frequenz ist der Ort konstruktiver bzw. destruktiver Interferenz an einer anderen Stelle. Die Auslöschung einzelner Frequenzen fällt bei Unterhaltungsmusik somit kaum auf. Würden die Geschwister Unterhaltungsmusik abspielen, wäre der Effekt von Lautstärkeminima und -maxima folglich nicht zu beobachten.
Räumliche Anforderungen: Die Abstände zwischen Lautstärkeminima und -maxima können in Abhängigkeit der Frequenz sehr gering ausfallen, sodass sich eine gezielte Reduzierung der Lautstärke immer nur für einen räumlich eng begrenzten Bereich realisieren lässt. Auf den Modellaufbau bezogen bedeutet dies, dass über die gesamte Breite des menschlichen Kopfes hinweg zeitgleich sowohl maximale als auch minimale Lautstärken auftreten könnten. Bei der ANC-Technologie wird die destruktive Interferenz hingegen zielgerichtet für nur einen sehr kleinen Raum direkt am Ohr benötigt und erzeugt.
Unerwünschtes Auftreten von Maxima: Der Modellaufbau erzeugt neben den gewünschten Lautstärkeminima immer auch Lautstärkemaxima. Ein funktionierendes Active-Noise-Cancelling-System zielt jedoch zwingend darauf ab, ausschließlich destruktive Interferenz herbeizuführen, um ein reines Lautstärkeminimum zu erreichen.
Störende Reflexionen: Bei dem skizzierten Versuchsaufbau in Abbildung 1 kann es zu unkontrollierten Schallreflexionen an den Zimmerwänden kommen, welche das theoretische Interferenzmuster überlagern und stören. Bei den ANC-Kopfhörern ist das kein Problem.

Hinweis: Erwartet werden mindestens zwei Aspekte. Auch eine positive Antwort kann akzeptiert werden und zur Vergabe der vollen Anzahl von Bewertungseinheiten führen, sofern sie korrekt begründet wird.

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