Aufgabe 4 — Röntgenanalyse von Kunstwerken

Röntgenstrahlung kann eingesetzt werden, um herauszufinden, ob ein Kunstwerk echt oder gefälscht ist. Es können beispielsweise tieferliegende Farbschichten oder die Zusammensetzung von Metallen untersucht werden.

Zur Analyse von Röntgenspektren kann die Drehkristallmethode verwendet werden (siehe Material 1).

Erläutere die Funktionsweise einer Röntgenröhre.

6 BE

Leite die Bragg-Bedingung $Formula: k \cdot \lambda = 2 d \cdot \sin(\varphi)$ $Formula: k \cdot \lambda = 2 d \cdot \sin(\varphi)$ mit $Formula: k \in \mathbb{N}$ $Formula: k \in \mathbb{N}$ unter Verwendung einer aussagekräftigen Skizze her.

6 BE

Ein Beispiel für ein Röntgenspektrum ist in Abbildung 2 (Material 2) dargestellt.

Markiere im Diagramm die kontinuierliche und die charakteristische Röntgenstrahlung sowie die kurzwellige Grenze.

Erläutere die Entstehung kontinuierlicher und charakteristischer Röntgenstrahlung und der kurzwelligen Grenze.

9 BE

Ermittle rechnerisch mithilfe der kurzwelligen Grenze die Beschleunigungsspannung.

[Kontrollwert: ca. $Formula: 33 \;\text{kV}$ $Formula: 33 \;\text{kV}$ ]

3 BE

Die charakteristische Strahlung einer Röntgenröhre wird mithilfe eines Lithium-Fluorid-Kristalls vermessen (Material 1). Die Anode besteht aus Molybdän. Die zur $Formula: \text{K}_\alpha \text{-}$ $Formula: \text{K}_\alpha \text{-}$ Linie des Anodenmaterials gehörige Strahlung wird unter dem Winkel $Formula: \rho$ $Formula: \rho$ gemessen.

Berechne mithilfe des Moseley-Gesetzes den Winkel $Formula: \rho.$ $Formula: \rho.$

7 BE

Ein Kunsthändler hat eine Figur mit einer vergoldeten Silbermünze in der Hand angeboten bekommen. Er fragt sich, ob sich unter dem Gold tatsächlich reines Silber befindet. Die Münze soll mithilfe der Röntgenfluoreszenzanalyse untersucht werden (Material 3).

Werte das Diagramm in Abbildung 3 (Material 3) aus. Erläutere, warum im Diagramm kein Peak für die Vergoldung erkennbar ist. Beantworte die Frage des Kunsthändlers.

7 BE

Erläutere Interpretationsschwierigkeiten, wenn zur Analyse der Münze die Röntgenröhre aus Aufgabenteil c) verwendet wird (siehe auch Material 2).

2 BE

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Sobald eine Heizspannung an der Heizwendel angelegt wird, bildet sich dort eine Elektronenwolke. Zwischen der Heizwendel und der Anode wird eine hohe Beschleunigungsspannung angelegt. Das dadurch entstehende elektrische Feld sorgt dafür, dass die Elektronen in Richtung der Anode beschleunigt werden und auf diese mit hoher kinetischer Energie auftreffen. Beim Aufprall auf das Anodenmaterial erfahren die schnellen Elektronen eine starke Abbremsung, wodurch Röntgenphotonen emittiert werden.

Um sicherzustellen, dass die erzeugte Röntgenstrahlung gerichtet abgestrahlt wird, besitzt die Anode eine schräge Form. Damit sich die Elektronen ohne Kollisionen mit Luftmolekülen frei bewegen können, ist der gesamte Aufbau in einem evakuierten Glaskolben untergebracht.

Schematische Grafik: blaue Einfall-/Reflexionslinien, rotes Dreieck, grüner Abstand d und Δs1, Winkel φ, gepunktetes Punktgitter.

Damit es zu konstruktiver Interferenz kommt, muss der Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ entsprechen: $Formula: \Delta s = k \cdot \lambda$ $Formula: \Delta s = k \cdot \lambda$ mit $Formula: k \in \mathbb{N}.$ $Formula: k \in \mathbb{N}.$
Wie in der Skizze dargestellt setzt sich der Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ aus zwei gleich langen Katheten $Formula: \Delta s_1$ $Formula: \Delta s_1$ zusammen, es gilt also $Formula: \Delta s = 2 \cdot \Delta s_1.$ $Formula: \Delta s = 2 \cdot \Delta s_1.$
Für das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck gilt $Formula: \sin(\varphi) = \tfrac{\Delta s_1}{d}.$ $Formula: \sin(\varphi) = \tfrac{\Delta s_1}{d}.$
Daraus folgt für die Kathete $Formula: \Delta s_1 = d \cdot \sin(\varphi)$ $Formula: \Delta s_1 = d \cdot \sin(\varphi)$ und somit für den Gangunterschied $Formula: \Delta s = 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi).$ $Formula: \Delta s = 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi).$
Ausgehend von der anfänglichen Bedingung für Maxima $Formula: k \cdot \lambda = \Delta s$ $Formula: k \cdot \lambda = \Delta s$ ergibt sich schließlich die Bragg-Bedingung:

$Formula: \begin{array}{rll} k \cdot \lambda & = & \Delta s \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] k \cdot \lambda & = & 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} k \cdot \lambda & = & \Delta s \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] k \cdot \lambda & = & 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi) \end{array}$

Diagramm: Intensität vs Wellenlänge mit großer charakteristischer Spitze, gestricheltem kontinuierlichem Verlauf und markierter kurzwelliger Grenze.

Kontinuierliche Strahlung (Bremsspektrum):

Wenn die beschleunigten Elektronen in das elektrische Feld der Anodenatome eindringen, erfahren sie eine Abbremsung. Dabei wird Energie in Form von Röntgenphotonen freigesetzt.

Da die Elektronen unterschiedlich stark abgebremst werden, können die entstehenden Photonen jeden beliebigen Energiewert annehmen, der maximal der gesamten kinetischen Energie eines vollständig gestoppten Elektrons entspricht.

Ein Photon mit dieser maximalen Energie besitzt folglich die höchstmögliche Frequenz und damit die kleinstmögliche Wellenlänge. Dies begründet das Vorhandensein der kurzwelligen Grenze im kontinuierlichen Spektrum.

Charakteristische Strahlung:

Die beschleunigten Elektronen aus der Röntgenröhre sind zudem in der Lage, einzelne an die Atomkerne des Anodenmaterials gebundene Elektronen herauszuschlagen.
Die dadurch entstehenden Lücken werden durch Elektronen aus oberen Schalen aufgefüllt. Die Energiedifferenz $Formula: \Delta E$ $Formula: \Delta E$ zwischen den beiden Schalen wird dabei in Form eines emittierten Photons abgegeben.
Da diese Energiedifferenzen spezifisch für das jeweilige Anodenmaterial sind, erzeugt dieser Prozess charakteristische Peaks bei festen Wellenlängen im Spektrum.

Zunächst muss die Grenzwellenlänge aus dem Diagramm aus Material 2 abgelesen werden. Diese liegt bei etwa $Formula: \lambda_{\mathrm{min}} \approx 38 \; \mathrm{pm}.$ $Formula: \lambda_{\mathrm{min}} \approx 38 \; \mathrm{pm}.$

An dieser kurzwelligen Grenze geht die gesamte kinetische Energie $Formula: E_{\mathrm{kin}} = e \cdot U$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = e \cdot U$ eines auftreffenden Elektrons in die Energie eines einzigen Photons über. Somit gilt:

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{kin}} & = & E_{\mathrm{Ph, max}} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] e \cdot U &=& h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\mathrm{min}}} \quad&\mid : e \\[5pt] U & = & h \cdot \dfrac{c}{e \cdot \lambda_{\mathrm{min}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{kin}} & = & E_{\mathrm{Ph, max}} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] e \cdot U &=& h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\mathrm{min}}} \quad&\mid : e \\[5pt] U & = & h \cdot \dfrac{c}{e \cdot \lambda_{\mathrm{min}}} \end{array}$

Das Einsetzen der Naturkonstanten und der abgelesenen Wellenlänge liefert:

$Formula: \begin{array}{rll} U & = & h \cdot \dfrac{c}{e \cdot \lambda_{\mathrm{min}}} \quad \mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & \approx & 6,626 \cdot 10^{-34} \; \mathrm{J \cdot s} \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot \dfrac{2,9979 \cdot 10^{8} \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1,602 \cdot 10^{-19} \; \mathrm{C} \cdot 38 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}} \\[15pt] & \approx & 32.630 \; \mathrm{V} \approx 32,6 \; \mathrm{kV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} U & = & h \cdot \dfrac{c}{e \cdot \lambda_{\mathrm{min}}} \quad \mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & \approx & 6,626 \cdot 10^{-34} \; \mathrm{J \cdot s} \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot \dfrac{2,9979 \cdot 10^{8} \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1,602 \cdot 10^{-19} \; \mathrm{C} \cdot 38 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}} \\[15pt] & \approx & 32.630 \; \mathrm{V} \approx 32,6 \; \mathrm{kV} \end{array}$

Das Periodensystem im Formeldokument liefert für Molybdän die Kernladungszahl Formula: 42.

Außerdem lautet das Moseley-Gesetz gemäß Formeldokument:

$Formula: \begin{array}{rll} E_{K_{\alpha}} & = & 13,6 \; \mathrm{eV} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot (Z - 1)^{2} \quad&\mid Z=42 \\[5pt] & = & 13,6 \; \mathrm{eV} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot (42 - 1)^{2} \\[5pt] & = & 17146,2 \; \mathrm{eV} \\[5pt] & \approx & 2,7471 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{K_{\alpha}} & = & 13,6 \; \mathrm{eV} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot (Z - 1)^{2} \quad&\mid Z=42 \\[5pt] & = & 13,6 \; \mathrm{eV} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot (42 - 1)^{2} \\[5pt] & = & 17146,2 \; \mathrm{eV} \\[5pt] & \approx & 2,7471 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J} \end{array}$

Daraus ergibt sich für die Frequenz Formula: f eines Photons:

$Formula: f = \frac{E_{K_{\alpha}}}{h} \approx \frac{2,7471 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}}{h} \approx 4,15 \cdot 10^{18} \; \mathrm{Hz}$ $Formula: f = \frac{E_{K_{\alpha}}}{h} \approx \frac{2,7471 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}}{h} \approx 4,15 \cdot 10^{18} \; \mathrm{Hz}$

Somit ergibt sich für die Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ der Röntgenstrahlung folgender Wert:

$Formula: \begin{array}{rll} \lambda & = & \dfrac{c }{f} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & \approx & \dfrac{2,9979 \cdot 10^{8} \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} }{4,15 \cdot 10^{18} \; \mathrm{Hz}} \\[5pt] & \approx & 7,231 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \lambda & = & \dfrac{c }{f} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & \approx & \dfrac{2,9979 \cdot 10^{8} \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} }{4,15 \cdot 10^{18} \; \mathrm{Hz}} \\[5pt] & \approx & 7,231 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{m} \end{array}$

Die Bragg-Bedingung kann nun nach dem Winkel $Formula: \varphi_k$ $Formula: \varphi_k$ aufgelöst werden:

$Formula: \begin{array}{rll} \varphi_{k} & = & \sin^{-1} \left( \dfrac{k\cdot \lambda}{2 \cdot d} \right) \quad&\mid k=1 \\[5pt] \varphi_{1} & = & \sin^{-1} \left( \dfrac{\lambda}{2 \cdot d} \right) \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & \approx & \sin^{-1} \left( \dfrac{7,231 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{m}}{2 \cdot 201 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}} \right) \\[5pt] & \approx & 10,36^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \varphi_{k} & = & \sin^{-1} \left( \dfrac{k\cdot \lambda}{2 \cdot d} \right) \quad&\mid k=1 \\[5pt] \varphi_{1} & = & \sin^{-1} \left( \dfrac{\lambda}{2 \cdot d} \right) \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & \approx & \sin^{-1} \left( \dfrac{7,231 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{m}}{2 \cdot 201 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}} \right) \\[5pt] & \approx & 10,36^{\circ} \end{array}$

Es ergibt sich somit ein berechneter Winkel von $Formula: 10,36^{\circ}.$ $Formula: 10,36^{\circ}.$

Zunächst werden die Energien der beiden charakteristischen Peaks aus dem Spektrum entnommen:

Für den ersten Peak ergibt sich dabei ein Wert von $Formula: E_{{K_{\alpha}}} \approx 8 \; \mathrm{keV} \approx 1,28 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}.$ $Formula: E_{{K_{\alpha}}} \approx 8 \; \mathrm{keV} \approx 1,28 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}.$
Der zweite Peak liegt bei etwa $Formula: E_{{K_{\alpha}}} \approx 22 \; \mathrm{keV} \approx 3,53 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}.$ $Formula: E_{{K_{\alpha}}} \approx 22 \; \mathrm{keV} \approx 3,53 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}.$

Es gilt das Moseley-Gesetz, das nach der Kernladungszahl Formula: Z aufgelöst wird, es gilt $Formula: Z > 1\text{:}$ $Formula: Z > 1\text{:}$

$Formula: \begin{array}{rll} E_{K_{\alpha}} & = & 13,6 \; \mathrm{eV} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot (Z - 1)^{2} \\[5pt] \dfrac{4 \cdot E_{K_{\alpha}}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}} & = & (Z - 1)^{2} \\[5pt] Z & = & 1 + \sqrt{\dfrac{4 \cdot E_{K_{\alpha}}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{K_{\alpha}} & = & 13,6 \; \mathrm{eV} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot (Z - 1)^{2} \\[5pt] \dfrac{4 \cdot E_{K_{\alpha}}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}} & = & (Z - 1)^{2} \\[5pt] Z & = & 1 + \sqrt{\dfrac{4 \cdot E_{K_{\alpha}}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}}} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rll} E_{K_{\alpha}} & = & 13,6 \; \mathrm{eV} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot (Z - 1)^{2} \quad&\mid \cdot \dfrac{4}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}} \\[5pt] \dfrac{4 \cdot E_{K_{\alpha}}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}} & = & (Z - 1)^{2} \quad&\mid \sqrt{\;} \,\, ; \,\, + 1 \\[5pt] Z & = & 1 + \sqrt{\dfrac{4 \cdot E_{K_{\alpha}}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{K_{\alpha}} & = & 13,6 \; \mathrm{eV} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot (Z - 1)^{2} \quad&\mid \cdot \dfrac{4}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}} \\[5pt] \dfrac{4 \cdot E_{K_{\alpha}}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}} & = & (Z - 1)^{2} \quad&\mid \sqrt{\;} \,\, ; \,\, + 1 \\[5pt] Z & = & 1 + \sqrt{\dfrac{4 \cdot E_{K_{\alpha}}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}}} \end{array}$

Durch Einsetzen ergibt sich für den ersten Peak eine Kernladungszahl von:

$Formula: Z_{\mathrm{1}} = 1 + \sqrt{\frac{4 \cdot 1,28 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}}} \approx 29$ $Formula: Z_{\mathrm{1}} = 1 + \sqrt{\frac{4 \cdot 1,28 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}}} \approx 29$

Für den zweiten Peak ergibt sich eine Kernladungszahl von:

$Formula: Z_{\mathrm{2}} = 1 + \sqrt{\frac{4 \cdot 3,53 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}}} \approx 47$ $Formula: Z_{\mathrm{2}} = 1 + \sqrt{\frac{4 \cdot 3,53 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}}{3 \cdot 13,6 \; \mathrm{eV}}} \approx 47$

Ein Abgleich mit dem Periodensystem in der Formelsammlung identifiziert diese Kernladungszahlen eindeutig als die Elemente Kupfer und Silber.

Dem Kunsthändler muss somit mitgeteilt werden, dass es sich bei der Münze um eine Fälschung handelt, da der Kern nicht aus reinem Silber besteht, sondern auch Kupfer enthält.

Ergänzend lässt sich anführen, dass Gold die Ordnungszahl Formula: 79 besitzt. Nach dem Moseley-Gesetz müsste echtes Gold einen charakteristischen Peak bei einer deutlich höheren Energie (etwa $Formula: 62 \; \mathrm{keV}$ $Formula: 62 \; \mathrm{keV}$ ) aufweisen, was in dem vorliegenden Diagramm jedoch gänzlich fehlt.

Ein potenzielles Problem bei dieser Analysemethode tritt auf, wenn sowohl die eingestrahlte Röntgenstrahlung als auch die von der Probe emittierte Strahlung charakteristische Peaks aufweisen. Diese Peaks könnten im Spektrum leicht miteinander verwechselt werden.

In der Praxis führt dies zu dem Risiko, dass das Material der Anode irrtümlicherweise als Bestandteil der analysierten Probe interpretiert wird. Umgekehrt könnte auch ein tatsächlich in der Probe vorhandenes Material fälschlicherweise ignoriert werden, in der Annahme, es handele sich lediglich um das Anodenmaterial der Röntgenröhre.

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Aufgabe 4 — Röntgenanalyse von Kunstwerken

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Material 1: Die Drehkristallmethode zur Aufnahme von Röntgenspektren

Material 2: Röntgenspektrum

Material 3: Röntgenfluoreszenzanalyse

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