Aufgabe 1: Aufgeblasen
Lino möchte das Volumen eines Luftballons bestimmen.
Er misst dafür bei einem Luftballon einen Umfang von 
(Abbildung 1).
Zeige, dass der Radius des Luftballons an dieser Stelle etwa 
beträgt.
Lino betrachtet den Luftballon vereinfacht als Kugel mit dem zuvor bestimmten Radius 
Bestätige durch Rechnung, dass er so das Volumen des Ballons mit 
abschätzen kann.
Abbildung 1: Luftballon
Lino möchte das Volumen des Ballons noch genauer bestimmen.
Dafür verwendet er einen Glaszylinder mit einer Grundfläche von 
und füllt 
Liter Wasser hinein.
Berechne die Höhe des Wasserstands in dem Glaszylinder.
Nun taucht Lino den Ballon ganz in das Wasser.
Der Ballon verdrängt dabei die Wassermenge, die seinem Volumen entspricht.
Dadurch steigt der Wasserspiegel im Zylinder um 
(Abbildung 2).
Zeige, dass der Luftballon ein Volumen von ca. 
hat.
Berechne, um wie viel Prozent das durch eine Kugel abgeschätzte Volumen von kleiner ist als das durch Eintauchen bestimmte Volumen von 
Abbildung 2: Verdrängung des Wassers
durch den Ballon (nicht maßstabsgetreu)
Lino möchte zum Geburtstag seines kleinen Bruders einen großen Karton komplett mit Luftballons füllen, die alle jeweils ein Volumen von etwa 
Litern haben.
Er behauptet: „Wenn ich den Rauminhalt des Kartons durch das Volumen eines Ballons teile, weiß ich genau, wie viele Ballons ich brauche.“
Linos Behauptung ist falsch.
Entscheide begründet, ob die Berechnung zu viele oder zu wenige Ballons ergibt.
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Der Umfang des Luftballons wird als Kreis angenommen.
Für den Umfang eines Kreises gilt:
Nach 
umformen:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}U&=&2\cdot \pi \cdot r &\mid\;:(2\cdot \pi) \\[5pt]r&=&\dfrac{U}{2\cdot \pi} \\[5pt]r&=&\dfrac{55,8\;\text{cm}}{2\cdot \pi} \\[5pt]r&\approx&8,9\;\text{cm}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/9d3c4e9b46a8b6c1959ab1931e0864ec8cfe291ca4f5dea31013653febc17a9f_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}U&=&2\cdot \pi \cdot r &\mid\;:(2\cdot \pi) \\[5pt]r&=&\dfrac{U}{2\cdot \pi} \\[5pt]r&=&\dfrac{55,8\;\text{cm}}{2\cdot \pi} \\[5pt]r&\approx&8,9\;\text{cm}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/9d3c4e9b46a8b6c1959ab1931e0864ec8cfe291ca4f5dea31013653febc17a9f_dark.svg)
Die Rechnung bestätigt, dass der Radius ca. beträgt.
Der Luftballon wird hier als Kugel angenommen.
Für das Volumen einer Kugel gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}V&=&\dfrac{4}{3}\pi \cdot r^{3} \\[5pt]V&=&\dfrac{4}{3}\pi \cdot (8,9\;\text{cm})^{3} \\[5pt]V&\approx&2953\;\text{cm}^{3}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/71e44c9e12914b1af01f64a0dd1b3a23204185b59b9746df4f9f7cc20954b807_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}V&=&\dfrac{4}{3}\pi \cdot r^{3} \\[5pt]V&=&\dfrac{4}{3}\pi \cdot (8,9\;\text{cm})^{3} \\[5pt]V&\approx&2953\;\text{cm}^{3}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/71e44c9e12914b1af01f64a0dd1b3a23204185b59b9746df4f9f7cc20954b807_dark.svg)
Das Volumen des Luftballons kann somit mit 
abgeschätzt
werden.
Die Höhe des Wasserstands im Glaszylinder bestimmen:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}V_{\text{Wasser}}&=&G_{\text{Glas}}\cdot h_{\text{Wasser}}&\mid\; :G_{\text{Glas}}\\[5pt]h_{\text{Wasser}}&=&\dfrac{V_{\text{Wasser}}}{G_{\text{Glas}}}\\[5pt]&=&\dfrac{8000\;\text{cm}^3}{530\;\text{cm}^2}\\[5pt] &\approx&15,1\;\text{cm}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1c706f30d5bfa0f1d13ba490539651a06ed69d13fe326ffe2d44709c1596c2fb_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}V_{\text{Wasser}}&=&G_{\text{Glas}}\cdot h_{\text{Wasser}}&\mid\; :G_{\text{Glas}}\\[5pt]h_{\text{Wasser}}&=&\dfrac{V_{\text{Wasser}}}{G_{\text{Glas}}}\\[5pt]&=&\dfrac{8000\;\text{cm}^3}{530\;\text{cm}^2}\\[5pt] &\approx&15,1\;\text{cm}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1c706f30d5bfa0f1d13ba490539651a06ed69d13fe326ffe2d44709c1596c2fb_dark.svg)
Die Höhe des Wasserstands beträgt etwa 
Volumen des Luftballons berechnen:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}V_{\text{Luftballon}}&=&G_{\text{Glas}}\cdot \Delta h_{\text{Wasser}} \\[5pt]&=&530\;\text{cm}^2\cdot5,7\;\text{cm} \\[5pt]&=&3021\;\text{cm}^3\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/00a7eef3ffd4d11c4c45b71234f1218b9fd830c7b477c0c353fd4dd44b82351b_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}V_{\text{Luftballon}}&=&G_{\text{Glas}}\cdot \Delta h_{\text{Wasser}} \\[5pt]&=&530\;\text{cm}^2\cdot5,7\;\text{cm} \\[5pt]&=&3021\;\text{cm}^3\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/00a7eef3ffd4d11c4c45b71234f1218b9fd830c7b477c0c353fd4dd44b82351b_dark.svg)
Das Volumen des Luftballons beträgt ca. 
Prozentuale Abweichung berechnen:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}p&=&\dfrac{3020\;\text{cm}^3-2950\;\text{cm}^3}{3020\;\text{cm}^3}\cdot100 \\[5pt]&\approx& 2,3\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/5dcacf3a749950887c80e3c59acc4e7869e1492fe4f91ca0d2417a1ee6b8f0ae_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}p&=&\dfrac{3020\;\text{cm}^3-2950\;\text{cm}^3}{3020\;\text{cm}^3}\cdot100 \\[5pt]&\approx& 2,3\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/5dcacf3a749950887c80e3c59acc4e7869e1492fe4f91ca0d2417a1ee6b8f0ae_dark.svg)
Das abgeschätzte Volumen der Kugel weicht vom durch Eintauchen bestimmten Volumen um ca. 
ab.
Die Behauptung ist falsch.
Begründung:
Da zwischen den Luftballons immer Zwischenräume frei bleiben, benötigt jeder Luftballon mehr Platz im Karton als die 
Daher passen tatsächlich weniger Luftballons in den Karton.