Aufgabe 3: Dreieck und Parabel

Meltem zeichnet durch die Punkte $Formula: A(−3 \mid0), B(3\mid0)$ $Formula: A(−3 \mid0), B(3\mid0)$ und $Formula: C(0\mid4,5)$ $Formula: C(0\mid4,5)$ das gleichschenklige Dreieck Formula: ABC (Abbildung 1).

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Bestimme den Umfang des Dreiecks.

Berechne die Größe des Winkels $Formula: \alpha.$ $Formula: \alpha.$

Abbildung 1: Dreieck

Meltem zeichnet über dem Dreieck die Parabel f. Die Parabel verläuft durch die Punkte Formula: A und Formula: B sowie den Punkt Formula: C als Scheitelpunkt (Abbildung 2).

Begründe, dass die Funktionsgleichung Formula: f(x) = a · (x + 3) · (x − 3) zu der Parabel passt und $Formula: a\lt 0$ $Formula: a\lt 0$ sein muss.

Bestimme den Wert des Faktors Formula: a mithilfe des Punktes Formula: C.

Meltem verschiebt nun den Punkt Formula: C entlang der Formula: y -Achse. Die Parabel verläuft weiterhin durch die drei Punkte Formula: A, B und Formula: C.

Beurteile die folgenden Aussagen. Kreuze an.

	richtig	falsch
Verschiebt Meltem den Punkt auf der -Achse nach oben, wird die Parabel gestaucht.		
Verschiebt Meltem den Scheitelpunkt auf den Punkt $Formula: (0\mid−1),$ $Formula: (0\mid−1),$ ist die Parabel nach oben geöffnet.		
Der Flächeninhalt des Dreiecks bleibt unverändert, wenn Meltem den Punkt entlang der -Achse verschiebt.		

Meltem möchte den Punkt Formula: C entlang der Formula: y -Achse so verschieben, dass das Dreieck Formula: ABC einen rechten Winkel hat. Gib mögliche Koordinaten des Punktes an und begründe die Entscheidung.

Abbildung 2: Dreieck und Parabel

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Aus der Abbildung ergeben sich die Maße:

$Formula: g=6\;\text{cm}$ $Formula: g=6\;\text{cm}$ und $Formula: h=4,5\;\text{cm}$ $Formula: h=4,5\;\text{cm}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ABC gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}A&=&(g\cdot h):2 \\[5pt]A&=&(6\;\text{cm} \cdot 4,5\;\text{cm}):2 &=&13,5\;\text{cm}^2\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}A&=&(g\cdot h):2 \\[5pt]A&=&(6\;\text{cm} \cdot 4,5\;\text{cm}):2 &=&13,5\;\text{cm}^2\end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreieck Formula: ABC beträgt $Formula: 13,5\;\text{cm}^2.$ $Formula: 13,5\;\text{cm}^2.$

Die Länge der Seite $Formula: a=\overline{AC}=\overline{BC}$ $Formula: a=\overline{AC}=\overline{BC}$ der gleich langen Schenkel mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}a^2&=&(3\;\text{cm})^2+(4,5\;\text{cm})^2 &\mid\;\sqrt{} \\[5pt]a_{1/2}&=&\pm\sqrt{(3\;\text{cm})^2+(4,5\;\text{cm})^2}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}a^2&=&(3\;\text{cm})^2+(4,5\;\text{cm})^2 &\mid\;\sqrt{} \\[5pt]a_{1/2}&=&\pm\sqrt{(3\;\text{cm})^2+(4,5\;\text{cm})^2}\end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}a_1&\approx&5,41\;\text{cm} \\[5pt] a_2&\approx&-5,41\;\text{cm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}a_1&\approx&5,41\;\text{cm} \\[5pt] a_2&\approx&-5,41\;\text{cm}\end{array}$

Für die Länge kommt nur die positive Lösung Formula: a_1 in Frage.

Berechnung des Umfangs:

$Formula: u=5, 41\;\text{cm}+5, 41\;\text{cm} + 6 \;\text{cm}=16,82\;\text{cm}$ $Formula: u=5, 41\;\text{cm}+5, 41\;\text{cm} + 6 \;\text{cm}=16,82\;\text{cm}$

Der Umfang des Dreiecks beträgt $Formula: 16,82\;\text{cm}.$ $Formula: 16,82\;\text{cm}.$

Größe des Winkels $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ bestimmen:

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\tan{\alpha}&=&\dfrac{4,5\;\text{cm}}{3\;\text{cm}} &\mid\; \tan^{-1} \\[5pt]\alpha&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{4,5\;\text{cm}}{3\;\text{cm}}\right)\\[5pt] &\approx&56,3^\circ\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\tan{\alpha}&=&\dfrac{4,5\;\text{cm}}{3\;\text{cm}} &\mid\; \tan^{-1} \\[5pt]\alpha&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{4,5\;\text{cm}}{3\;\text{cm}}\right)\\[5pt] &\approx&56,3^\circ\end{array}$

Der Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ ist ca. $Formula: 56,3^\circ$ $Formula: 56,3^\circ$ groß.

Begründung:

Die angegebene Funktion $Formula: f(x) = a \cdot (x+3) \cdot (x-3)$ $Formula: f(x) = a \cdot (x+3) \cdot (x-3)$ liegt in der sogenannten Linearfaktordarstellung vor.

Aus den beiden Klammern lassen sich die Nullstellen direkt ablesen:

Formula: x_1=-3 und Formula: x_2=3

Da die Parabel im Schaubild nach unten geöffnet ist, muss der Streckfaktor negativ sein. Daraus folgt: Formula: a < 0.

Formula: a < 0.

Koordinaten des Punktes Formula: C in Formula: f(x) einsetzen, um den Wert des Faktors Formula: a zu bestimmen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}4,5&=&a\cdot(0+3)\cdot(0-3) \\[5pt]4,5&=&a\cdot (-9) &\mid\;: (-9) \\[5pt]a&=&-0,5\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}4,5&=&a\cdot(0+3)\cdot(0-3) \\[5pt]4,5&=&a\cdot (-9) &\mid\;: (-9) \\[5pt]a&=&-0,5\end{array}$

Der Wert für Formula: a ist Formula: -0,5.

	richtig	falsch
Verschiebt Meltem den Punkt auf der -Achse nach oben, wird die Parabel gestaucht.		
Verschiebt Meltem den Scheitelpunkt auf den Punkt $Formula: (0\mid−1),$ $Formula: (0\mid−1),$ ist die Parabel nach oben geöffnet.		
Der Flächeninhalt des Dreiecks bleibt unverändert, wenn Meltem den Punkt entlang der -Achse verschiebt.		

Falsch, weil eine größere Höhe die Parabel streckt, nicht staucht.
Richtig, da bei $Formula: C (0\mid-1)$ $Formula: C (0\mid-1)$ der Faktor $Formula: a\gt 0$ $Formula: a\gt 0$ ist.
Falsch, weil sich die Höhe des Dreiecks und damit sein Flächeninhalt ändert.

Koordinaten des Punktes Formula: C bestimmen, sodass das Dreieck Formula: ABC rechtwinklig ist:

Bei dem Dreieck Formula: ABC handelt sich um ein gleichschenkliges Dreieck, die beiden Basiswinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ und $Formula: \beta$ $Formula: \beta$ (bei den Punkten und Formula: B) sind gleich groß.

Damit das Dreieck auch rechtwinklig ist, müssen die Basiswinkel jeweils $Formula: 45^\circ$ $Formula: 45^\circ$ groß sein.

Der Punkt Formula: C kann dann so verschoben werden, dass gilt:

$Formula: C(0 \mid3)$ $Formula: C(0 \mid3)$ oder $Formula: C(0 \mid–3).$ $Formula: C(0 \mid–3).$

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