Aufgabe 2: Bienen

In Deutschland werden immer mehr Bienenvölker gehalten.

Abbildung 1: Anzahl der Bienenvölker in Tausend in den Jahren 2007 bis 2022

Beurteile die Aussagen mithilfe des Diagramms. Kreuze an.

	trifft zu	trifft nicht zu
Die Anzahl an Bienenvölkern im Jahr 2007 hat sich bis 2022 um genau $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ erhöht.		
In den angegebenen Jahren ist die Anzahl der Bienenvölker in Deutschland durchgängig gestiegen.		
Im Jahr 2022 gab es fast Million Bienenvölker in Deutschland.		
Die Anzahl an Bienenvölkern ist von 2013 auf 2016 am stärksten gewachsen.		

Caro behauptet: „Die prozentuale Zunahme der Anzahl der Bienenvölker ist von 2016 auf 2019 und von 2019 auf 2022 nahezu gleich geblieben.“

Entscheide begründet, ob die Behauptung stimmt.

Bienen sammeln ihren Honig in Waben, die sie selbst bauen (Abbildung 2).

$Formula: 3\;\text{dm}^2$ $Formula: 3\;\text{dm}^2$ Waben besteht aus ca. Formula: 850 Zellen. Eine Zelle kann mit bis zu $Formula: 0,42\;\text{g}$ $Formula: 0,42\;\text{g}$ Honig gefüllt sein. Entscheide rechnerisch, ob $Formula: 1\;\text{dm}^2$ $Formula: 1\;\text{dm}^2$ Waben ausreichen können, um $Formula: 1\;\text{kg}$ $Formula: 1\;\text{kg}$ Honig zu erhalten.

Abbildung 2: Wabe eines Bienenvolkes

Den Aufbau von Honigwaben kann man als mathematisches Muster betrachten. Man beginnt mit einer Anfangszelle. Alle anderen baugleichen sechseckigen Zellen werden lückenlos rings um diese Zelle gelegt.

Abbildung 3: Wabenmuster

Begründe mithilfe der Abbildung 3, dass die Anzahl der Zellen im Muster nicht linear wächst.

Die Anzahl der Zellen kann mit folgender Formel berechnet werden:

Formula: sₙ = 1 + 3n² + 3n ( Formula: n: Anzahl an Ringen)

Berechne die Anzahl der Zellen für Formula: n = 3 Ringe.

Bestimme rechnerisch die Anzahl der Zellen, die von einer Wabe mit Formula: 5 Ringen zu einer Wabe mit Formula: 6 Ringen neu hinzukommen.

Bestimme, aus wie vielen Ringen eine Wabe mit Formula: 217 Zellen besteht.

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	trifft zu	trifft nicht zu
Die Anzahl an Bienenvölkern im Jahr 2007 hat sich bis 2022 um genau $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ erhöht.		
In den angegebenen Jahren ist die Anzahl der Bienenvölker in Deutschland durchgängig gestiegen.		
Im Jahr 2022 gab es fast Million Bienenvölker in Deutschland.		
Die Anzahl an Bienenvölkern ist von 2013 auf 2016 am stärksten gewachsen.		

Trifft nicht zu, denn eine Erhöhung von $Formula: 670\,000$ $Formula: 670\,000$ um $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ ergäbe $Formula: 1\,005\,000$ $Formula: 1\,005\,000$ Völker, tatsächlich waren es aber nur $Formula: 996\,000.$ $Formula: 996\,000.$
Trifft nicht zu, weil sich die Anzahl der Bienenvölker von 2010 bis 2013 verringert hat.
Trifft zu, weil die tatsächliche Anzahl von $Formula: 996\,000$ $Formula: 996\,000$ aufgerundet 1 Million ergibt.
Trifft zu, weil der Anstieg von 2013 bis 2016 mit $Formula: 822\,000-685\,000=137\,000$ $Formula: 822\,000-685\,000=137\,000$ Völkern am stärksten ist.

Die Behauptung ist falsch, weil die prozentuale Zunahme nicht gleich geblieben ist.

Begründung:

Der Wachstumsfaktor Formula: a von 2016 auf 2019 beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}822\cdot a&=& 942&\mid\; :822\\[5pt]a&\approx&1,15\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}822\cdot a&=& 942&\mid\; :822\\[5pt]a&\approx&1,15\end{array}$

Die prozentuale Zunahme beträgt von 2016 auf 2019 etwa $Formula: 15\,\%.$ $Formula: 15\,\%.$

Der Wachstumsfaktor Formula: a von 2019 auf 2022 beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}942\cdot a&=& 996&\mid\; :942\\[5pt] a&\approx&1,06 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}942\cdot a&=& 996&\mid\; :942\\[5pt] a&\approx&1,06 \end{array}$

Die prozentuale Zunahme beträgt von 2019 auf 2022 etwa $Formula: 6\,\%.$ $Formula: 6\,\%.$

$Formula: 3\;\text{dm}^2$ $Formula: 3\;\text{dm}^2$ Wabe ergeben: $Formula: 3\cdot850=2\,550$ $Formula: 3\cdot850=2\,550$ Zellen

$Formula: 2\,550$ $Formula: 2\,550$ Zellen ergeben: $Formula: 2\,550 \cdot 0,42\;\text{g} = 1\,071\;\text{g}=1,07\;\text{kg}$ $Formula: 2\,550 \cdot 0,42\;\text{g} = 1\,071\;\text{g}=1,07\;\text{kg}$ Honig

Somit können $Formula: 3\;\text{dm}^2$ $Formula: 3\;\text{dm}^2$ Honigwaben ausreichen, um $Formula: 1\;\text{kg}$ $Formula: 1\;\text{kg}$ Honig zu erhalten.

Begründung:

Beim Übergang von Formula: n = 0 (keine Ringe) zu Formula: n = 1 (ein Ring) steigt die Zellanzahl von Formula: 1 auf Formula: 7, das ist ein Zuwachs von Formula: 6 Zellen.